门 GATE-IT-2004 问题 13

本问题是GATE-IT-2004考试的问题13，是一个关于计算机网络相关的问题。

题目描述

考虑下面这个网络拓扑图：

    A
   / \
  B - C - D

其中A、B、C、D代表四个路由器，-代表有线连接。我们称B和C是直接相邻的（也即B和C之间有一条有线连接），而A和D则是间接相邻的，因为它们之间不存在直接的有线连接。因此，如果要在A和D之间传输数据包，需要通过中间的路由器C来进行路由。

现在假设我们向这个网络拓扑图中添加了一个路由器E，并建立如下的连接：B和E之间、C和E之间、D和E之间都存在有线连接，即E成为了一个新的中间路由器。

现在我们希望在A和D之间传输数据包，需要一个长度最短的路径。请你基于上述的网络拓扑图，给出一个算法，计算出这个最短路径。请注意，这个最短路径不一定是唯一的。

解题思路

这个问题可以使用Dijkstra算法来解决。Dijkstra算法是一种用于计算最短路径的贪心算法，以起点为中心不断扩展已知最短路径范围，直到到达终点为止。

具体而言，在这个问题中，我们需要进行如下步骤：

1. 初始化节点与它们相邻节点的距离。对于A、B、C、D、E五个节点，我们可以用一个矩阵来表示它们之间的距离。例如，如果AB之间有连接，则在矩阵中对应的位置上填入连接的长度，否则填入一个较大的数作为无穷远。

2. 初始化起点的最短距离数组。将起点到其他节点的初始距离设置为无穷远，起点到它自身的距离为0。

3. 根据起点计算出所有其他节点到起点的最短距离，同时创建一个保存路径的数组保存路径信息。

4. 找到一个未处理的距离起点最近的节点，将其加入到已处理列表中，并更新其相邻节点的最短距离和路径信息。重复此步骤，直到当前节点为终点或者所有的节点都已被处理。

5. 回溯路径。从终点开始，根据保存的路径信息，逆推回起点。

代码实现

下面是使用Python实现的Dijkstra算法，用于解决本问题：

import sys

def dijkstra(graph, start, end):
    """
    使用Dijkstra算法计算最短路径
    :param graph: 网络拓扑图，二维矩阵表示各节点之间的距离，如：[[0, 2, 1, sys.maxsize, 1], [2, 0, 1, 3, 5], [1, 1, 0, 1, sys.maxsize], [sys.maxsize, 3, 1, 0, 2], [1, 5, sys.maxsize, 2, 0]]
    :param start: 起点的编号，从0开始计数
    :param end: 终点的编号，从0开始计数
    :return: 最短路径的长度和路径信息，如：(3, [0, 2, 3])
    """
    # 初始化距离和路径信息
    n = len(graph)
    dist = [sys.maxsize] * n
    path = [None] * n
    dist[start] = 0

    # 处理节点，逐步扩展已知最短路径的范围
    visited = set()
    while end not in visited:
        cur = min([i for i in range(n) if i not in visited], key=dist.__getitem__)
        visited.add(cur)
        for i in range(n):
            if i not in visited and graph[cur][i] != sys.maxsize:
                new_dist = dist[cur] + graph[cur][i]
                if new_dist < dist[i]:
                    dist[i] = new_dist
                    path[i] = cur

    # 回溯路径
    ans = [end]
    while ans[-1] != start:
        ans.append(path[ans[-1]])
    ans.reverse()
    return dist[end], ans

结论

使用Dijkstra算法，我们可以很容易地求出最短路径。在本问题中，我们只需要按照起点为A、终点为D执行一遍Dijkstra算法，即可得到从A到D的最短路径。

需要注意的是，如果图中存在负边权，则无法使用Dijkstra算法计算最短路径。此时，可以使用Bellman-Ford算法或SPFA算法来解决该问题。