重复删除回文子串后删除字符串的最小步骤

介绍

给定一个字符串，每次可以删除其中的一个回文子串，直到删除完所有回文子串为止。求最小步骤数。

本文将介绍如何使用动态规划算法解决此问题。

动态规划

动态规划是一种解决多阶段决策过程最优化问题的常用算法。主要思想为将问题分解成多个子问题，并存储每个子问题的最优解，最终合并子问题的最优解，得到整个问题的最优解。

在本问题中，我们可以将问题拆分成以下两个子问题：

1. 如何判断一个子字符串是回文子串；
2. 如何计算将一个字符串删至空串的最小步骤。

判断回文子串

我们可以使用回文子串的中心扩展法来判断一个子字符串是否为回文子串。

具体方法为，从左到右遍历字符串，选取每个字符作为中心点，分别向两边扩展，如果两边的字符相等，就继续向外扩展，直到两边的字符不相等为止。此时中心点的左右两个字符组成的子字符串为回文子串。

具体实现可参考以下代码片段：

def is_palindrome(s: str, left: int, right: int) -> bool:
    while left < right and s[left] == s[right]:
        left += 1
        right -= 1
    return left >= right

最小步骤数

设 dp[i][j] 表示将从位置 i 到位置 j 的子字符串删至空串的最小步骤数，则有以下状态转移方程：

1. 当 i == j 时，dp[i][j] = 1，因为一个单个字符的子串需要删掉一次；
2. 当 s[i] == s[j] 时，有以下两种情况：
   1. 如果 i + 1 == j，即两个相邻的相同字符，那么 dp[i][j] = 1；
   2. 否则，如果 i + 1 < j，即子字符串的长度大于 2，那么 dp[i][j] = dp[i+1][j-1]；
3. 当 s[i] != s[j] 时，有以下两种情况：
   1. 如果只删除 s[i]，那么 dp[i][j] = dp[i+1][j] + 1；
   2. 如果只删除 s[j]，那么 dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1；
   3. 最终取两个值的最小值即可。

具体实现可参考以下代码片段：

def min_steps(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n-1, -1, -1):
        dp[i][i] = 1
        for j in range(i+1, n):
            if s[i] == s[j]:
                if i + 1 == j:
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1)
    return dp[0][n-1]

总结

本文介绍了如何使用动态规划算法解决重复删除回文子串后删除字符串的最小步骤问题。具体思路是分成两个子问题：如何判断回文子串，和如何计算最小步骤数。其中，判断回文子串可以使用回文子串的中心扩展法实现，而计算最小步骤数则需要使用动态规划算法，通过状态转移方程来逐步计算出最小步骤数。