门 | GATE CS 2020 | 问题24

本篇文章讲述了GATE CS 2020的第24个问题，主要介绍了一道算法题目，需要使用到贪心算法和动态规划。

问题描述

有n个门，每个门有一个开关。你需要决定哪些门需要打开，以便从初始位置到达最终位置。所有门都可以被无限制地打开，并且每次可以打开所有门或者关闭所有门。每个门都有一个代价ci，每次都需要支付ci的费用。初始位置为门1，最终位置为门n。

贪心算法解法

从初始位置1开始，我们需要尽可能少地打开门。为此，我们可以找一个最大的k（k<n），在这之前所有门都不需要开。每打开第k个门，我们将直接到达终点。为了找到这个k，我们可以查看每个门是否在当前位置右侧且到达该门的代价小于先到达k门所需的代价。如果是，则可以跳过该门并继续搜索。

下面是实现上述解法的Python代码：

def min_cost(n, c):
    k = 1
    cost = c[0]
    for i in range(1, n):
        if c[i] <= cost:
            k = i+1
            cost = c[i]
    return k, cost

该函数的输入参数分别为n（门的数量）和c（门的代价列表）。返回值包含了答案k和所需代价。这个算法的时间复杂度为O(n)。

动态规划解法

我们可以使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从门i到门j所需的最小代价。首先，我们初始化所有dp[i][j]为正无穷，除了dp[i][i]为0。然后，我们可以使用递归式dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+c[k-1])，其中k从i+1到j。最终，dp[1][n]就是我们所需的答案。

下面是实现动态规划解法的Python代码：

def min_cost(n, c):
    dp = [[float("inf") for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 0
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(n-l+1):
            j = i + l - 1
            for k in range(i+1, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+c[k-1])
    return dp[0][n-1]

该函数的输入参数与贪心算法的相同，返回一个整数，表示最小代价。这个算法的时间复杂度为O(n^3)。

总结

本篇文章介绍了GATE CS 2020的第24个问题。本文讨论了贪心算法和动态规划的解法，都能够在理论上找到最优解。贪心算法的时间复杂度为O(n)，但是并不是完全正确的解法。动态规划算法的时间复杂度为O(n^3)，能够保证找到最优解。