检查每个元素乘以整数时是否存在总和为1的子集

问题描述

给定一个由n个实数组成的数组a[i]，你需要判断是否存在一个长度大于等于1的子集S，使得S中的所有元素乘以某个整数后，它们的和为1。若存在，则输出"YES"，否则输出"NO"。

解题思路

一种可行的思路是，将数组中的元素全部取倒数，然后问题转化为：是否存在一个长度大于等于1的子集S，使得S中的所有元素的和等于数组中所有元素的和的倒数。若存在，则输出"YES"，否则输出"NO"。

转化后的问题可以用回溯算法求解。定义函数backtrack(sum, index, nums, path)表示搜索以当前元素为下标index，当前已选择的元素之和为sum，当前可选的元素为nums，已选择的元素下标为path时，是否存在一个长度大于等于1的子集S使得S中的所有元素的和等于数组中所有元素的和的倒数。

• 若sum为0，则无法得到和为1的子集，返回False。
• 若sum等于1，则已得到和为1的子集，返回True。
• 若index等于数组长度，则已经遍历完所有元素，无法得到和为1的子集，返回False。
• 对于当前可选的元素nums，尝试选取每一个元素，将其加入已选择的元素集合中，并更新元素之和。若得到了和为1的子集，则返回True，否则回溯到未选择该元素的状态。对于未被访问的元素，可尝试选择或不选择，搜索两条分支。

代码实现

def backtrack(sum, index, nums, path):
    if sum == 0:
        return False
    if sum == 1:
        return True
    if index == len(nums):
        return False
    for i in range(index, len(nums)):
        path.append(i)
        if backtrack(sum - nums[i], i + 1, nums, path):
            return True
        path.pop()
        if backtrack(sum, i + 1, nums, path):
            return True
    return False

def check_subset(nums):
    nums = [1/x for x in nums]
    s = sum(nums)
    if s < 1:
        return False
    return backtrack(s, 0, nums, [])

# 测试样例
nums1 = [0.5,0.5,2]
nums2 = [0.5,0.5,1.5]
assert check_subset(nums1)==True
assert check_subset(nums2)==False

总结

本题的难点在于如何将问题转化为一个可解的形式。将数组中的元素全部取倒数可以避免浮点数精度问题，同时使问题在一定程度上变得对称。通过回溯算法遍历所有可能的子集，判断是否存在特定子集可以解决问题。