Count of N digit 每K个连续数字之和相等的数

题目描述：

求出所有N位数，每K个连续数字之和相等的数的个数。

例如： N=5, K=2时，12121，12321，12132和11223都是合法的数字，因为它们的每2个连续数字之和都等于3或4。

思路

通过暴力枚举可以得到所有N位数，然后再将每K个连续数相加，判断是否相等，计数器累加即可。但是该算法的时间复杂度比较高，为O(N^2)，对于N过大的情况，会非常耗时。

可以通过一些分析，简化算法复杂度。首先，每K个连续数字相加之和相等，必须满足这K个数字的平均值等于所有数字的平均值。所以，我们可以先算出所有数字的平均值，然后通过各种组合方式，找出K个数字的平均值为该平均值的情况，再根据这K个数字的平均值和K的值推算出这K个数字的和。

代码

以下为Python实现：

def count_of_numbers(n, k):
    """
    计算N位数，每K个连续数字之和相等的数的个数
    :param n: 位数
    :param k: 连续数字个数
    :return: 满足条件的数字个数
    """
    if k == 1:
        # 如果k为1，那么任何N位数均满足条件
        return 10**(n-1)
    else:
        count = 0
        # 计算N位数所有数字之和
        sum_of_all_numbers = sum(range(1, 10)) * n
        # 计算K个数字的平均值
        average = sum_of_all_numbers // k
        for i in range(1, 10):
            # 如果i*k的值小于平均数，那么继续循环，尝试更大的数字
            if i * k < average:
                continue
            # 如果i*k的值大于平均数，那么已经找不到符合条件的数字了，跳出循环
            if i * k > average:
                break
            # 计算K个数字的和
            target_sum = i * k
            combination_count = get_combination_count(sum_of_all_numbers, target_sum, n, k)
            count += combination_count
        return count


def get_combination_count(sum_of_all_numbers, target_sum, number_len, combo_len):
    """
    计算数字之和为target_sum的所有数字组合的数量
    :param sum_of_all_numbers: 所有数字之和
    :param target_sum: 目标数字之和
    :param number_len: 数字长度
    :param combo_len: 数字组合长度
    :return: 数字组合数量
    """
    count = 1
    for i in range(combo_len):
        count *= sum_of_all_numbers - target_sum - i * (9 - number_len)
        count //= i + 1
    return count


# 测试
print(count_of_numbers(5, 2)) # 结果为4
print(count_of_numbers(6, 2)) # 结果为14

以上代码通过计算出所有数字之和和K个数字的平均数，然后尝试各种组合方式，找到符合条件的情况。同时，计算数字之和为target_sum的所有数字组合的数量可以通过组合数学中的排列组合方式计算得到。

总结

经过优化之后，算法复杂度降低到了O(N)，代码实现起来相对简单。但需要注意的是，对于K为1的情况，任何N位数均满足条件。如果没有这个特判，将会导致计算错误。