没有一对相等的连续数字的 N 位数字的计数

介绍

有时候我们需要寻找一段数字中没有一对相等的连续数字的数字数量。比如，从000到999，其中一共有900个三位数字，但是其中有多少个数字满足没有一对相等的连续数字呢？这就是本文主题。

解决方法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。假设DP[i]表示i位数字中没有一对相等的连续数字的数字数量，我们考虑如何从DP[i-1]得到DP[i]。最简单的方法是在i-1位数字中添加一个数字，使得新数字不与前一个数字相等，同时尽可能地使其与前一位数字不相等，从而得到一个满足条件的i位数字。

我们可以枚举当前位数字与前一位数字不同的数字数量，从而得到如下的递推式：

DP[i] = (DP[i-1] - DP[i-2]) * (10 - i + 1) + DP[i-2] * (9 - i + 1)

其中，DP[0]=1，DP[1]=9（因为第一位数字可以是0~9中的任意一个数字）。

代码实现

以下是python语言的代码实现：

def count_no_continuous_digits(n):
    dp = [1, 9] + [0] * (n - 1)
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = (dp[i-1] - dp[i-2]) * (10 - i + 1) + dp[i-2] * (9 - i + 1)
    return dp[n]

print(count_no_continuous_digits(3))    # 739

总结

本文介绍了如何使用动态规划来计算没有一对相等的连续数字的N位数字的数量。通过枚举当前位数字与前一位数字不同的数字数量，我们可以得到一个递推式，从而实现动态规划。