使用数组中的数字无法形成的大于数组最大值的最小数字

在程序开发过程中，我们经常需要处理数组中的数字。而有时候，我们需要确定一个大于数组最大值的最小数字，这个数字不能由数组中任何数字的组合得到。这个问题在数学中被称为“Frobenius问题”，也被称为“硬币问题”。接下来，我们将介绍如何解决这个问题。

问题描述

给定一个正整数数组 arr，请找到一个大于数组中所有数之和的最小正整数 x，并且满足 x 不能由数组中任何数字的组合得到。

解决方案

方法一：暴力枚举

我们可以使用暴力枚举的方法来解决这个问题。具体的，我们从数组中数字之和加一的数开始循环，直到找到一个不能由数组中任何数字的组合得到的正整数。

def find_smallest_number(arr):
    n = len(arr)
    total = sum(arr)
    x = total + 1
    while True:
        found = False
        for i in range(1 << n):
            s = 0
            for j in range(n):
                if i & (1 << j):
                    s += arr[j]
            if s == x:
                found = True
                break
        if not found:
            return x
        x += 1

时间复杂度为 $O(2^n)$，空间复杂度为 $O(1)$。当数组 arr 中元素个数较小时，可以使用暴力枚举方法进行求解。

方法二：线性规划

线性规划是一种优化问题的解法。我们可以将本题转化为线性规划问题。具体的，设 $x$ 为目标值，$y_1,y_2,\dots,y_n$ 为变量，表示选取数组中的数字，则可以得到以下线性规划模型：

$$ \begin{aligned} & \min x \ \text{s.t.} \quad & x - \sum\limits_{i=1}^{n} y_i \geq 0 \ & y_i\geq0, i=1,2,\dots,n \ & x,y_i \in \mathbb{Z}, \end{aligned} $$

其中，第一行表示我们要使得 $x$ 最小化。第二行表示，要满足 $x$ 大于数组中所有数字之和。（注意，这里的 $y_i$ 表示的是取第 $i$ 个数的情况，而不是取至少一个第 $i$ 个数的情况。）

我们可以通过线性规划求解器来计算上述模型的最优解。如果最优解大于数组中所有数字之和，则找到了答案；否则，我们需要将目标值加 1，重新进行计算。

from pulp import *
def find_smallest_number(arr):
    total = sum(arr)
    n = len(arr)
    prob = LpProblem('Frobenius', LpMinimize)
    x = LpVariable('x', lowBound=total+1, cat='Integer')
    y = [LpVariable('y{}'.format(i+1), lowBound=0, cat='Integer') for i in range(n)]
    prob += x
    prob += x - lpSum(y) >= 0
    prob += y[i] <= arr[i] for i in range(n)
    prob.solve()
    if prob.status == 1:
        return int(value(x))
    return None

时间复杂度为 $O(n\log n)$，空间复杂度为 $O(n)$，当数组 arr 的元素个数比较大时，可以使用线性规划方法进行求解。

总结

以上就是本题的两种解决方法。当数组 arr 元素个数比较小时，可以使用暴力枚举方法；当 arr 元素个数比较大的时候，可以使用线性规划方法。