K 人的活动选择问题

简介

K 人的活动选择问题是指在 K 个人中选择一组人参加若干个活动，满足每个活动至少有一人参加，每个人最多参加一个活动，求解同时参加活动的人数最少是多少。

这是一个经典的 NP 难问题，可以使用贪心算法或动态规划算法解决。

贪心算法

算法思路

贪心算法的思路是每次选择参加活动的人数最少的活动，并将这些人标记为已选择参加，继续进行下一轮选择。一直到选择的人数满足每个活动至少有一人参加，或者所有人都已选择完毕。

算法实现

def greedy_algorithm(k, activities):
    selected = set()  # 已选择参加活动的人
    participants = {}  # 每个活动参加的人
    while len(selected) < k:
        min_count = float('inf')
        min_activity = None
        for activity in activities:
            count = len(activity - selected)  # 计算未选择参加该活动的人数
            if count < min_count:
                min_count = count
                min_activity = activity
        selected |= min_activity  # 将参加该活动的人添加到已选择集合中
        participants[min_activity] = min_activity - selected  # 记录参加该活动的人
    return participants

算法复杂度

时间复杂度为 O(K * M)，其中 M 是活动的数量，每轮选择需要计算每个活动未选择参加的人。空间复杂度为 O(M)，需要记录每个活动参加的人。

动态规划算法

算法思路

动态规划算法的思路是通过状态转移方程计算选择参加活动的人数最少的方案。定义状态 f[S] 表示选择 S 中所有人参加活动的最小人数，转移方程为 f[S] = min(f[S-T] + 1)，其中 T 为包含 S 的最小的活动。

算法实现

def dp_algorithm(k, activities):
    all_people = set(range(k))
    f = {frozenset(): 0}  # 初始化状态为不选择任何人参加活动
    for S in activities:
        for T in powerset(S):  # 枚举 S 的所有子集
            T = frozenset(T)
            if T not in f:  # 如果 T 未出现过
                continue
            U = S - T
            if not U:  # 如果 U 为空集，即 T 包含了所有人
                f[S] = f.get(S, float('inf'))
                if f[T] + 1 < f[S]:
                    f[S] = f[T] + 1
            else:
                f[S] = f.get(S, float('inf'))
                if f[T] + 1 < f[S]:
                    min_count = float('inf')
                    for activity in U:
                        count = len(activity & T)
                        if count < min_count:
                            min_count = count
                    if min_count > 0:  # 如果所有活动与 T 的交集均为空集，则该状态无效
                        f[S] = f[T] + 1
    participants = {}  # 每个活动参加的人
    for S in activities:
        for T in powerset(S):
            T = frozenset(T)
            if T in f:
                U = S - T
                is_minimal = True
                for P in activities - set([S]):
                    if len(P & T) == 0 and len(P & U) > 0:
                        is_minimal = False
                        break
                if is_minimal:
                    participants[S] = T
    return participants

算法复杂度

时间复杂度为 O(2^M * K^2 * M)，其中 M 是活动的数量，需要枚举所有的状态和子集，计算状态转移。空间复杂度为 O(2^M)，需要记录所有状态的最小值。