线剪裁 | 第 2 组（Cyrus Beck 算法）

简介

Cyrus Beck 算法是一种用于计算封闭多边形与线段之间的交点的算法。它是去除标准 Cohen-Sutherland 算法所具有的割裂性，并在大多数情况下具有更高的计算效率的一种解决方案。

相较于 Cohen-Sutherland 算法，Cyrus Beck 算法更加普适，并且采用了更加清晰的线性代数概念和数学思想，从而避免了 Cohen-Sutherland 算法中可能会出现的一些问题。

原理

Cyrus Beck 算法的核心是通过优化多边形边界的割线，以避免出现 Cohen-Sutherland 算法所具有的割裂性。多边形的割线是根据每条边的法向量和切点来计算的。

对于一个线段的起点 P1 和终点 P2，我们定义一个向量 D = P2 - P1。我们可以将线段的表示方式更改为 P1 + t*D, 其中 0 <= t <= 1。表示线段任意一点的参数方程的形式。

我们对于封闭多边形的每条边，将它们的参数方程与线段的方程相结合，可以得到一个边与线段相交的距离。通过与当前跟踪的最小距离进行比较，我们可以找到与线段最近的多边形边界上的交点。

最后，我们可以将线段进行分割并重复这个过程，直到所有可能的交点都被找到。

实现

下面是 Python 实现的示例代码：

def cyrus_beck_clip(P1, P2, vertices):
    EPSILON = 1e-6
    n = len(vertices)
    D = P2 - P1

    # 初始化参数 t 的上下限
    t_min = 0.0
    t_max = 1.0

    for i in range(n):
        # 计算当前边的法向量和切点
        edge = vertices[i:i+2] if i < n-1 else [vertices[-1], vertices[0]]
        E = edge[1] - edge[0]
        N = np.array([-E[1], E[0]])
        P = edge[0]

        # 计算当前边与线段之间的交点
        denom = np.dot(N, D)
        if abs(denom) > EPSILON:
            t = np.dot(N, P-P1) / denom
            if denom > 0:
                t_min = max(t_min, t)
            else:
                t_max = min(t_max, t)

        # 如果参数 t 的上限小于下限，则线段在多边形外，直接返回
        if t_max < t_min:
            return None

    # 计算交点坐标
    intersection = P1 + t_min*D

    # 返回交点
    return intersection

结论

Cyrus Beck 算法是一种比 Cohen-Sutherland 算法更加高效且更加普适的解决方案。它包括了对于参数方程的使用以及对于多边形割线的优化。Cyrus Beck 算法的工作原理需要一定的线性代数和数学知识，但是一旦掌握，就可以非常灵活地用于各种计算机图形学问题之中。