题目描述

给定两个长度相同的整型数组 A 和 B，求满足条件 X % A[i] = B[i] 的最小正整数 X（X 一定存在），如果不存在，则返回 -1。

解题思路

由于 X % A[i] = B[i]，那么根据模运算的性质可以得到以下等式：

X = k * A[i] + B[i]

其中 k 为一个非负整数，B[i] 为余数。

对于所有的 i，都必须满足 X % A[i] = B[i]，也就是说，对于每个 i，都有：

k * A[i] + B[i] ≡ B[i] (mod A[i])

两边同时减去 B[i]，得到：

k * A[i] ≡ 0 (mod A[i])

根据同余定理，k * A[i] ≡ 0 (mod A[i]) 等价于 k ≡ 0 (mod A[i]) 或者 A[i] ≡ 0 (mod A[i])。

如果 A[i] = 0，则 X 可以任取正整数，即 X 的取值范围是从 0 到正整数的最大值 INT_MAX。

如果 A[i] ≠ 0，则 k 最小为 A[i]，因为 A[i] 的倍数加上余数 B[i] 最小为 A[i]。

综上，X 的最小值取决于所有 A[i] 的最小公倍数，即 lcm(A[0], A[1], ..., A[n-1])，以及对应的 B[i]，因此我们可以首先求出 A 数组中所有数的最小公倍数 lcm_A，然后检查是否存在任何一个 i 使得 lcm_A % A[i] ≠ 0，如果存在，则说明不存在满足条件的 X，返回 -1；否则，按照上述算法计算 X 的最小值，即为 lcm_A + k，其中 k 为满足所有 A[i] | (lcm_A + k) 的最小正整数。

代码实现

def min_x(A: List[int], B:List[int]) -> int:
    from math import gcd
    lcm_A = 1
    for a in A:
        lcm_A = lcm_A * a // gcd(lcm_A, a)
    if any(lcm_A % a != 0 for a in A):
        return -1
    k = 0
    for i, a in enumerate(A):
        while (lcm_A + k) % a != B[i]:
            k += lcm_A
        if k > 2 * lcm_A:
            return -1
    return lcm_A + k

其中 List[int] 表示整型数组类型，使用方法类似于 Python 中的内置列表类型 list。math.gcd 函数用于求两个数的最大公约数，// 操作符表示整数除法，any 函数用于判断任意一个元素是否为真。