在 Nim 游戏中找到赢家

简介

Nim 游戏是两个玩家轮流取走一堆物品，规定每次只能取走一定数量的物品（通常是 1 到 3）。取走最后一个物品的玩家获胜。在这篇文章中，我们将介绍两种方法来找到 Nim 游戏的赢家。

方法一：使用 XOR

我们可以使用异或运算符（^）来确定 Nim 游戏的赢家。假设有 n 堆物品，它们的大小依次为 a[1], a[2], ..., a[n]。我们可以计算出所有物品的异或和：a[1] ^ a[2] ^ ... ^ a[n]。如果这个异或和等于 0，那么先手玩家必输；否则先手玩家必赢。

def findWinner(nums):
    xor_sum = 0
    for num in nums:
        xor_sum ^= num
    if xor_sum == 0:
        return "后手赢"
    else:
        return "先手赢"

使用方式：

>>> nums = [2, 5, 7]
>>> findWinner(nums)
'后手赢'

方法二：使用动态规划

我们也可以使用动态规划来找到 Nim 游戏的赢家。我们定义 dp[i] 表示当有 i 个物品时，先手玩家是否必胜。如果当前有 n 堆物品，它们的大小依次为 a[1], a[2], ..., a[n]，那么 dp[n] 可以如下计算：

• 如果对于所有 1 <= i <= n，a[i] = 1，那么当前玩家必输，dp[n] = False。
• 否则，我们考虑最后一步先手玩家取走了 k 个物品，那么下一个状态就是求 dp[n - k]。如果对于所有可选的 k，dp[n - k] 都是 False，那么当前玩家必胜，dp[n] = True；否则当前玩家必输，dp[n] = False。

def canWin(nums):
    dp = [False] * (max(nums) + 1)
    dp[0] = False  # 0 个物品先手必输
    dp[1] = True   # 1 个物品先手必胜
    for i in range(2, max(nums) + 1):
        # 遍历所有可选的 k
        for k in range(1, 4):
            if k <= i:
                if not dp[i - k]:
                    dp[i] = True
                    break
    return dp[nums[0]]

def findWinner(nums):
    if canWin(nums):
        return "先手赢"
    else:
        return "后手赢"

使用方式：

>>> nums = [2, 5, 7]
>>> findWinner(nums)
'先手赢'

总结

两种方法都可以用来找到 Nim 游戏的赢家，而异或方法更加简单，性能也更好。在实际应用中，可以根据具体的应用场景选择适合的方法。