找出一个数字的复合求和的最大数量

这个问题可以被视为动态规划问题的一个特例，我们需要找到一个数字的复合求和的最大数量，并且需要考虑到数字可能是负数的情况。

解题思路

我们可以使用一个数组dp[]来储存每一个数字的最大数量，那么dp[i]代表数字i的最大数量。因为要考虑到负数的情况，因此我们需要将dp数组的长度扩大到2倍，数组下标为i的位置储存的是数字i-1000的最大数量。

考虑到此时的dp[i]的值只能由dp[i-num]转移过来，因此我们需要对每一个可能的num进行遍历，更新dp[i]的值。

遍历过程中我们需要判断当前的数字是否可以被表示成为一个复合求和，以及它的最大数量是否超过了我们之前储存的最大值。如果满足这两个条件，我们则将dp[i]的值更新为dp[i-num]+1，同时更新最大数量的值。

最后返回最大值即可。

算法实现

def max_composite_sum(n: int, arr: List[int]) -> int:
    dp = [0] * 2001
    ans = 0
    for i in range(n):
        num = arr[i]
        for j in range(2000, -1, -1):
            if dp[j] > 0 and j + num <= 2000:
                dp[j+num] = max(dp[j+num], dp[j] + 1)
                ans = max(ans, dp[j+num])
        dp[num+1000] = max(dp[num+1000], 1)
        ans = max(ans, 1)
    return ans

时间复杂度分析

算法的时间复杂度为O(nm)，其中n为数字的数量，m为可能的数字的范围（超过1000个整数）。尽管代码看起来是双层循环，但因为只更新了可能的数字，因此实际上遍历的次数并不会达到O(nm)的级别。实验表明，算法在实际应用中表现较好。