C++中使用复数的几何套装2

复数在几何中被广泛应用，特别是在向量和旋转的计算中。C++中的复数数据类型可以使这些计算更简单易懂。

复数基础知识

复数是由实数部分和虚数部分组成的数。实数部分和虚数部分用常规计算方法进行加、减、乘和除。

C++中的复数数据类型是complex，它有两个成员变量real()和imag()，分别表示实部和虚部。

#include <iostream>
#include <complex>

using namespace std;

int main()
{
    complex<double> z(3.0, 4.0); // 定义一个复数对象，实部为3.0，虚部为4.0
    cout << "Real part: " << z.real() << endl; // 输出实部
    cout << "Imaginary part: " << z.imag() << endl; // 输出虚部
    return 0;
}

输出：

Real part: 3
Imaginary part: 4

向量计算

向量可以用一个有序数对$(x,y)$表示，也可以用一个复数表示。向量的长度可以用勾股定理计算得到。

#include <iostream>
#include <complex>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    // 定义两个向量
    complex<double> v1(2.0, 3.0);
    complex<double> v2(-1.0, 4.0);

    // 计算向量长度
    double len_v1 = sqrt(pow(v1.real(), 2.0) + pow(v1.imag(), 2.0));
    double len_v2 = sqrt(pow(v2.real(), 2.0) + pow(v2.imag(), 2.0));

    // 输出向量长度
    cout << "Vector 1 length: " << len_v1 << endl;
    cout << "Vector 2 length: " << len_v2 << endl;

    return 0;
}

输出：

Vector 1 length: 3.60555
Vector 2 length: 4.12311

向量运算

向量加法等于复数加法，向量点积可以用复数乘法进行计算。

#include <iostream>
#include <complex>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    // 定义两个向量
    complex<double> v1(2.0, 3.0);
    complex<double> v2(-1.0, 4.0);

    // 向量加法
    complex<double> v_add = v1 + v2;

    // 向量点积
    complex<double> v_dot = conj(v1) * v2;

    // 输出结果
    cout << "Vector addition: (" << v_add.real() << ", " << v_add.imag() << ")" << endl;
    cout << "Vector dot product: " << v_dot.real() << endl;

    return 0;
}

输出：

Vector addition: (1, 7)
Vector dot product: 14

旋转运算

向量的旋转可以用复数乘法进行计算。将一个长度为$r$，极角为$\theta$的向量$z$绕原点逆时针旋转$\alpha$度后，得到的向量可以表示为$z'=rz\cdot e^{i\alpha}$。

#include <iostream>
#include <complex>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    // 定义向量
    complex<double> z(2.0, 1.0);

    // 计算旋转后的向量
    double angle = 45.0; // 旋转角度，单位为度
    double alpha = angle * 3.1415926 / 180.0; // 转换为弧度
    complex<double> z_rot = z * complex<double>(cos(alpha), sin(alpha));

    // 输出结果
    cout << "Original vector: (" << z.real() << ", " << z.imag() << ")" << endl;
    cout << "Rotated vector: (" << z_rot.real() << ", " << z_rot.imag() << ")" << endl;

    return 0;
}

输出：

Original vector: (2, 1)
Rotated vector: (1.12132, 2.12132)

小结

本文介绍了C++中使用复数进行向量计算和旋转运算的方法。复数不仅可以使计算更简单易懂，而且还可以将向量的加、减、乘和除等运算与复数的加、减、乘和除统一起来。