相似度总和

该算法是计算给定字符串及其所有后缀的相似度总和。相似度可以使用不同的算法进行计算，例如最长公共前缀（LCP）、Levenshtein 距离、Jaccard 系数等等。本文将提供使用最长公共前缀的相似度计算方法。

最长公共前缀

最长公共前缀是指给定字符串集合中所有字符串从左到右开始最长的公共部分。例如字符串集合 {"apple", "app", "apartment", "april"} 的最长公共前缀为 "ap"。

算法

计算最长公共前缀可以使用字符串匹配算法，例如 KMP 算法、Trie 树等等。这些算法的时间复杂度为 $O(n)$，为线性时间。在这里，我们使用类似于压缩后缀数组的方法来实现。

给定字符串 $s$，最长公共前缀数组 $lcp$ 可以如下计算：

1. 构造后缀数组 $sa$；
2. 对于相邻的后缀 $sa[i]$ 和 $sa[i+1]$，计算它们的最长公共前缀 $lcp[i]$，即 $lcp[i] = \mathrm{lcp}(s[sa[i]...], s[sa[i+1]...])$；
3. 返回 $lcp$ 数组。

示例代码

def build_lcp(s: str) -> List[int]:
    n = len(s)
    sa = build_sa(s)
    
    lcp = [0] * n
    h = 0
    for i in range(n):
        if sa[i] == 0:
            continue
        j = sa[inv[sa[i]-1]]
        while i+h < n and j+h < n and s[i+h] == s[j+h]:
            h += 1
        lcp[i] = h
        h = max(h-1, 0)
    
    return [0] + lcp[:-1]

其中 build_sa 为构造后缀数组的函数，inv 为后缀数组的逆数组。

相似度总和算法

给定字符串 $s$，最长公共前缀数组 $lcp$，相似度总和可以如下计算：

$$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^n lcp[j] $$

示例代码

def build_similarity(s: str) -> int:
    lcp = build_lcp(s)
    n = len(s)
    return sum(sum(lcp[i:j+1]) for i in range(n) for j in range(i, n))

性能分析

最长公共前缀的计算复杂度为 $O(n\log n)$，相似度总和计算复杂度为 $O(n^2)$，总复杂度为 $O(n^2\log n)$。对于较短的字符串，性能表现不错。但对于较长的字符串，性能会变得很差。

结论

本文介绍了一种计算给定字符串及其所有后缀的相似度总和的算法。该算法使用最长公共前缀作为相似度计算方法，并使用线性时间计算最长公共前缀。该算法的时间复杂度为 $O(n^2\log n)$，适用于较短的字符串。