给定范围内具有最大异或的值

什么是异或

异或是一种逻辑运算，也叫做“异或运算”，用符号 “^” 表示。其运算规则是：两个数按二进制位进行比较，如果相同，则对应位上的结果为 0，否则为 1。例如，1 ^ 0 = 1，0 ^ 1 = 1，1 ^ 1 = 0，0 ^ 0 = 0。

问题描述

给定一个整数数组 nums 和两个整数 left 和 right，要求返回在范围 [left, right] 内两个数的异或最大值。

解决方法

简单粗暴的暴力解法

暴力解法很容易想到：枚举所有的数对，然后找出其中异或值最大的一对数。时间复杂度为 O(N^2)，不过这个复杂度并不适用于本问题，因为 left 和 right 可能非常大，所以我们只需在区间 [0, 1e9] 中随机取数，然后以这些数为 left 和 right 来运行暴力算法即可。

import random

def max_xor(nums, left, right):
    res = float('-inf')
    for _ in range(10000):
        l = random.randint(0, 1000000000)
        r = random.randint(l, 1000000000)
        if l >= left and r <= right:
            a, b = -1, -1
            for i in range(len(nums)):
                for j in range(i + 1, len(nums)):
                    if a == -1 or (nums[i] ^ nums[j]) > res:
                        a, b = nums[i], nums[j]
                        res = a ^ b
    return res

Trie 树

Trie 树是一种树状结构，被用于统计、排序和保存大量的字符串。对于本题而言，首先我们需要将所有的数插入到 Trie 树中，然后再从树中搜索符合条件的数对。

class TrieTree:
    class TrieNode:
        def __init__(self):
            self.child = [None] * 2
        
        def get_child(self, x):
            if self.child[x] is None:
                self.child[x] = TrieTree.TrieNode()
            return self.child[x]
            
    def __init__(self):
        self.root = TrieTree.TrieNode()

    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            node = node.get_child(bit)
        
    def search(self, num):
        node = self.root
        res = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if node.child[bit ^ 1] is not None:
                res |= (1 << i)
                node = node.child[bit ^ 1]
            else:
                node = node.child[bit]
        return res
       
def max_xor(nums, left, right):
    trie = TrieTree()
    for num in nums:
        trie.insert(num)
        
    res = 0
    for num in nums:
        if left <= num and num <= right:
            res = max(res, trie.search(num))
    return res

前缀和 + Trie 树

前缀和加 Trie 树是一种比较巧妙的做法。首先我们可以对于每个数，计算出其前缀异或和，然后将其插入到 Trie 树中。然后对于任意两个数的异或和，可以通过它们的前缀异或和来计算。这样做的时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(N)。

class TrieTree:
    class TrieNode:
        def __init__(self):
            self.child = [None] * 2
        
        def get_child(self, x):
            if self.child[x] is None:
                self.child[x] = TrieTree.TrieNode()
            return self.child[x]
            
    def __init__(self):
        self.root = TrieTree.TrieNode()

    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            node = node.get_child(bit)
        
    def search(self, num):
        node = self.root
        res = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if node.child[bit ^ 1] is not None:
                res |= (1 << i)
                node = node.child[bit ^ 1]
            else:
                node = node.child[bit]
        return res
        
def max_xor(nums, left, right):
    pre_xor = [0]
    for num in nums:
        pre_xor.append(pre_xor[-1] ^ num)

    trie = TrieTree()
    for num in pre_xor:
        trie.insert(num)

    res = 0
    for num in pre_xor:
        l = num ^ left  # left 范围内与 num 的异或最大值
        r = num ^ right  # right 范围内与 num 的异或最大值
        res = max(res, trie.search(l), trie.search(r))
    return res

总结

本题主要是考察了大家对于异或的理解，以及对 Trie 树的掌握。通过本题，可以进一步提高算法设计和代码实现的能力。