计算按递增顺序访问所有数组元素的成本

访问数组的成本取决于数组元素的位置。如果数组元素在内存中离散分布，则访问成本较高。如果数组元素在内存中连续分布，则访问成本较低。

按递增顺序访问所有数组元素的成本是指对于一个任意排列的数组，我们按照从小到大的顺序访问所有数组元素，所需的总成本。本文将介绍如何计算这个成本。

思路

考虑一个简单的情况，如果数组中元素是按顺序排列的，那么访问总成本是 $C_1 = n$，其中 $n$ 是数组大小。

但是，如果数组中元素是随机排列的，那么访问成本会更高。可以看做把数组分割成了 $k$ 段，每一段内部的元素是连续的。在访问每一段时，由于每段内部元素地址是连续的，所以可以一次性读取一段内部的所有元素。但是，当访问不连续的两段时，需要先读取一个元素，然后跳转到下一段开始的位置，再读取第一个元素。

假设每一段的长度分别为 $l_1,l_2,...,l_k$，$C_2$ 表示访问全部元素的成本，可以表示为：

$C_2 = \sum_{i=1}^{k}l_i+(k-1)$

其中，$\sum_{i=1}^{k}l_i=n$。我们现在的目标是最小化 $C_2$。

根据加权均值不等式：

$\sqrt[k]{\prod_{i=1}^kl_i} \leq \frac{\sum_{i=1}^kl_i}{k}$

当且仅当 $l_1=l_2=...=l_k$ 时，等式成立。

因此，当元素随机分布时，为了最小化访问成本，我们应该尽量将数组均匀分割为许多段，每一段元素数量相等。这样，可以最小化跨段的次数，从而最小化总成本。

对于大小为 $n$ 的数组，我们将其分为 $m=\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ 段。第 $i$ 段包含元素 $[(i-1)\sqrt{n},i\sqrt{n})$，$i \in [1,m]$。然后，对每一段内部的元素排序，以便按照从小到大的顺序访问。最后，按照段的顺序依次访问各段。

按照这种方法，总访问成本可以降至 $C_3=\sqrt{n}+n \sqrt{n}$ 左右。这个成本是由于字符串拼接操作而产生的额外开销。

代码实现

在 Python 中，实现如下：

import math
def min_cost(arr):
    n = len(arr)
    m = int(math.sqrt(n))
    buckets = [[] for _ in range(m)]
    for i in range(n):
        buckets[i // m].append(arr[i])
    costs = 0
    for i in range(m):
        buckets[i].sort()
        for x in buckets[i]:
            costs += x
    return costs

在 Java 中，实现如下：

import java.util.Arrays;

public class MinCost {
    public static int calc(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int m = (int) Math.sqrt(n);
        int[][] buckets = new int[m][];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            buckets[i] = Arrays.copyOfRange(arr, i * m, (i + 1) * m);
        }
        int cost = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            Arrays.sort(buckets[i]);
            for (int x : buckets[i]) {
                cost += x;
            }
        }
        return cost;
    }
}

结论

按递增顺序访问所有数组元素的成本取决于数组元素的分布情况。当元素随机分布时，我们可以将数组均匀分割为多个段，每个段内部排序后依次访问，以最小化总成本。总成本约为 $\sqrt{n}+n \sqrt{n}$，其中 $n$ 是数组大小。