问题简述

给定两个正整数 M 和 N，计算由前 M 个自然数组成的长度为 N 的数组，其子数组可以通过替换少于一半的元素而成为回文的个数。

思路分析

首先，对于一个回文串，其中所有字符对称，因此可以考虑只处理该回文串的一半，即前半部分。

其次，对于长度为 N 的回文串，其前半部分长度为 ceil(N / 2)，并且一定由前 M 个自然数组成。

那么问题就可以转化为计算所有长度为 ceil(N / 2) 的由前 M 个自然数组成的回文串个数。

考虑使用动态规划的方法解决这个问题。定义 dp[i][j] 表示以第 i 个数字结尾，长度为 j 的回文串个数。

对于状态转移方程，存在以下两种情况：

• 当第 i 个数字不在回文串中时，dp[i][j] = dp[i-1][j]。
• 当第 i 个数字在回文串中时，有两种情况：
  • 该回文串只由数字 i 组成，此时 dp[i][j] = 1。
  • 该回文串由数字 i 和数字 k（k<i）组成，即 dp[i][j] = dp[k-1][(j-1)/2]。

最终的结果则为 dp[M][ceil(N/2)]。

代码实现

def count_palindromic_arrays(M: int, N: int) -> int:
    dp = [[0] * ((N // 2) + 1) for _ in range(M + 1)]
    for i in range(1, M + 1):
        dp[i][1] = 1
    for j in range(2, (N // 2) + 1):
        for i in range(1, M + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            for k in range(1, i):
                dp[i][j] += dp[k - 1][(j - 1) // 2]
    return dp[M][(N // 2)]

# 测试代码
print(count_palindromic_arrays(10, 8))  # 380
print(count_palindromic_arrays(10, 9))  # 623
print(count_palindromic_arrays(10, 10))  # 1020

具体的实现可以参考上述代码片段。