计算数组中的反转 | 第3组 (使用BIT)

本篇文章介绍了使用BIT（树状数组）算法计算数组中的反转。

什么是BIT

BIT是Binary Indexed Tree的缩写，也称作树状数组。BIT是一种高效的数据结构，可以高效地支持区间查询和单点修改。BIT的核心思想是将数组构建为一棵树，其中每个节点表示原数组中一段区间的和。具体实现可以参考其他资料，这里略去不表。

算法思路

以数组[2,3,8,6,1]为例，我们希望计算其反转对数。反转对指的是下标i<j，但是a[i]>a[j]的对数。

为了方便，我们将数组排序，得到[1,2,3,6,8]。 假设我们正在计算第i个元素a[i]的反转对数，那么我们需要统计其右侧所有大于a[i]的元素个数，这个可以通过BIT维护前缀和轻松实现。 当统计完a[i]的反转对之后，我们需要将a[i]插入BIT中。

通过遍历整个数组，我们可以累加所有元素的反转对数，即为最终结果。

代码实现

class BIT:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.tree = [0] * (n+1)
        
    def update(self, x, v):
        while x <= self.n:
            self.tree[x] += v
            x += self.lowbit(x)
    
    def query(self, x):
        res = 0
        while x > 0:
            res += self.tree[x]
            x -= self.lowbit(x)
        return res
        
    def lowbit(self, x):
        return x & (-x)
    
        
class Solution:
    def reversePairs(self, nums: List[int]) -> int:
        idx = {v: i for i, v in enumerate(sorted(set(nums)))}
        bit = BIT(len(idx))
        ans = 0
        for i in range(len(nums)-1, -1, -1):
            ans += bit.query(idx[nums[i]]-1)
            bit.update(idx[nums[i]]+1, 1)
        return ans

解释：

我们首先将数组去重并排序，构建出idx数组，用于记录元素在排序后的下标位置，然后初始化BIT。

接着从后往前遍历数组，对于每个元素，我们查询BIT中小于其下标的所有元素个数，这些元素都是大于它的元素，并累加到答案中。

最后将该元素加入BIT中。

总结

BIT是一种高效的数据结构，可以高效地支持区间查询和单点修改，并且在计算数组中反转对等问题时有很好的效果。学习BIT算法可以帮助我们更好地理解数据结构和算法。