生成整数的所有唯一分区

当我们想要对一个整数进行划分，通常是指将这个整数分解成若干个整数的和。例如，将整数4分解为1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 2+2, 4等等。

如果我们想要生成一个整数的所有唯一分区，可以使用动态规划的方法来解决这个问题。

假设我们要将一个整数N分解为k个数的和，我们可以用dp[N][k]来表示这个问题的解。首先，我们考虑只分解成一项，也就是k=1的情况，此时dp[N][1]=1，因为我们只有一种分法，就是将N本身作为唯一的一项。

假设N=5，如果要将5分解成2项的和，我们可以枚举最后一项j的大小，然后将前面的N-j分解为k-1项的和。这个问题的解可以由dp[N-j][k-1]得出。我们将所有dp[N-j][k-1]的值累加起来，就得到dp[N][k]的值。

以下是生成一个整数的所有唯一分区的代码实现，使用Python语言编写。

def partition(n):
    dp = [[0 for j in range(n+1)] for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][1] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for k in range(2, n+1):
            for j in range(1, i+1):
                if j <= i-j:
                    dp[i][k] += dp[i-j][k-1]
            dp[i][k] += dp[i-1][k]
    return dp[n][n]

print(partition(5))

其中，dp[i][k]表示将i分解为k个数的和的方案数。初始化dp[i][1]=1，即将i分解为1个数的和只有一种方案，即i本身。递推式为dp[i][k] = sum(dp[i-j][k-1], 1<=j<=i-j) + dp[i-1][k]，意思是对于k个整数的分解，我们可以枚举最后一项j的大小，然后将剩下的i-j分解为k-1个整数的和，再将这些方案数相加即可。注意到i-j不能大于j，因为我们要保证每一项都是整数。

输出结果为5，即将整数5分解为若干个整数的和一共有5种不同的方案，分别为1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+1+3, 1+4, 2+3.