总和为斐波那契数的子数组总数

概述

给定一个整数数组，找到总和为斐波那契数的子数组的总数。

斐波那契数列是满足下列条件的数字序列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…，即每个数字都是前两个数字之和，其中第一个和第二个数字都是1。

例如，给定数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，可以找到以下子数组的总和等于斐波那契数：[1, 2, 3], [2, 3, 5], [1, 2, 3, 5, 8]，因此返回值为3。

本题的解法可以使用双指针法，具体实现方法将在下面进行介绍。

解法

算法描述

1.定义两个指针 $left$ 和 $right$，分别从左侧开始遍历数组

2.定义变量 $fib$ 表示当前斐波那契数

3.定义变量 $sum$ 表示当前子数组的总和

4.初始化 $left=0$，$right=0$，$fib=1$，$count=0$，表示初始状态数组为空子数组，斐波那契数为1，子数组总数为0

5.开始循环，当 $left$ 小于数组长度且 $right$ 小于数组长度时执行以下操作：

a.如果 $sum$ 小于当前斐波那契数，向右移动 $right$，并将 $sum$ 增加 $nums[right]$ 的值

b.如果 $sum$ 大于当前斐波那契数，向右移动 $left$，并将 $sum$ 减去 $nums[left]$ 的值

c.如果 $sum$ 等于当前斐波那契数，将 $count$ 增加1，向右移动 $right$ 和 $left$，并更新 $sum$ 为当前 $right$ 和 $left$ 对应的数组元素之和，更新 $fib$ 为当前斐波那契数的下一个数

d.如果 $right$ 和 $left$ 都到达数组的末尾，则结束循环

6.返回 $count$ 表示符合要求的子数组总数

代码实现（Python）

下面是使用Python实现的代码片段：

def findFibonacciSubarrays(nums: List[int]) -> int:
    left, right = 0, 0
    fib, count = 1, 0
    sum = 0

    while left < len(nums) and right < len(nums):
        if sum < fib:
            sum += nums[right]
            right += 1
        elif sum > fib:
            sum -= nums[left]
            left += 1
        else:
            count += 1
            left += 1
            right += 1
            if right < len(nums):
                sum = nums[left] + nums[right]
            fib = fib + 1 if fib < 2 else fib + fib - 1

    return count

复杂度分析

本算法使用了双指针的思想，在 $O(N)$ 的时间复杂度内解决了问题，其中 $N$ 表示数组的长度。

同时，由于只使用了常数个变量存储数据，因此空间复杂度为 $O(1)$。

因此，该算法的时间复杂度和空间复杂度都是很优秀的。