以'检查给定的两个数字是否为友好对'作主题介绍

友好对（Amicable Pair）指两个正整数中，其中一个数的因子之和等于另外一个数，同时另外一个数的因子之和也等于第一个数。

例如，它们是友好对：(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368)。

方案

我们可以用以下步骤来判断给定的两个数字是否为友好对：

• 找出每个数字的因子
• 对这些因子求和
• 如果结果与另一个数字匹对，就意味着它们是友好对

这个算法看起来很简单，但如果我们使用一个朴素的算法看来需要进行 $O(N^2)$ 的计算，其中 N 是第一个数字与第二个数字中较大的那个。因为对于每个数字，我们需要计算它的因子并将它们添加在一起，以便我们再将两个数字的结果进行比较。

但是，我们可以通过优化步骤1和2来将算法的时间复杂度降为 $O(N \log N)$。我们可以从该数字的1 ~ sqrt(n)范围内的数字中找到因子，并使用它们计算该数字的因子和，然后我们可以反向计算因子和。最后，我们可以将该数字的因子和与另一个数字进行比较。

代码片段

def sum_of_proper_factors(number):
    factors = [1]
    for i in range(2, int(number ** 0.5) + 1):
        if number % i == 0:
            factors.extend([i, number // i])
    if number > 1:
        factors.append(number)
    return sum(factors) - number

def is_amicable_pair(number1, number2):
    return sum_of_proper_factors(number1) == number2 and sum_of_proper_factors(number2) == number1

总结

在本文中，我们介绍了友好对的定义，并讨论了如何使用一个优化的算法快速地判断给定的两个数字是否为友好对。我们还展示了一个Python代码片段，以演示如何实现这个算法。