分配问题的匈牙利算法 |设置 2（实施）

算法简介

分配问题的匈牙利算法（也叫二分图最大匹配算法，英文名Hungarian Algorithm）是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。它通过寻找增广路径，一步步增加匹配的数目，直到无法增加为止。

算法的核心思想是不断地寻找增广路径，如果找到了增广路径，就将路径上的匹配状态调整一下；如果找不到增广路径，就说明已经找到最大匹配，算法结束。

算法流程

1. 初始化：将每个未匹配点都标记为可达点，每个匹配点都标记为不可达点。
2. 寻找增广路径：从每个未匹配点开始，尝试寻找增广路径。如果找到了增广路径，就将路径上的匹配状态调整一下，如果找不到增广路径，就跳转到第4步。
3. 继续寻找增广路径：将第2步中找到的增广路径的起始点所在的连通块全部标记为不可达点，将该增广路径的终点作为新的起始点，继续寻找增广路径。
4. 求解：最终得到的匹配数就是最大匹配。

算法实现

下面是使用Python实现分配问题的匈牙利算法的代码，以解决“最大化匹配点对数”的问题。

"""
Hungarian Algorithm for Maximum Matching
"""
def hungarian_algorithm(n:int, m:int, mat:List[List[int]]) -> int:
    """
    n: number of left nodes
    m: number of right nodes
    mat: the adjacency matrix

    return: the maximum number of matched pairs
    """
    def dfs(x:int) -> bool:
        """
        使用DFS寻找增广路径

        x: 左侧节点编号
        return: 是否找到增广路
        """
        for y in range(m):
            if mat[x][y] and not vis[y]:
                vis[y] = True
                if match[y] == -1 or dfs(match[y]):
                    match[y] = x
                    return True
        return False

    # 初始化
    match = [-1 for _ in range(m)] # 记录右侧节点匹配的左侧节点编号
    cnt = 0                         # 匹配的点对数
    for i in range(n):
        vis = [False for _ in range(m)] # 记录右侧节点是否访问过
        cnt += int(dfs(i))

    return cnt

总结

分配问题的匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一，其时间复杂度为O(n^3)，适用于非常小的二分图。对于较大的二分图，需要使用更高效的算法，如Hopcroft-Karp算法或Dinic算法等。