给定序列中不存在的第k个缺失元素(按递增顺序)

在一个递增有序的序列中，如果有些元素缺失了，我们可以找到缺失的元素的数量。本题要求找到给定递增有序序列中不存在的第 k 个缺失元素。

解题思路

我们可以使用二分查找的方法实现该算法。对于给定序列中的一个子区间，假设其左右端点分别为 left 和 right，我们可以计算其范围内缺失的元素数量。具体来说，假设该子区间内缺失的元素个数为 missing_num，则有：

missing_num = nums[right] - nums[left] - (right - left)

其中 nums 是给定的递增有序序列。该等式的含义是：在该子区间中，如果没有任何元素缺失，那么区间内所有元素之间的差的总个数应该为 right - left，但是因为缺失了 missing_num 个元素，所以该区间内实际上只有 right - left - missing_num 个元素之间存在差值。

因此，我们可以通过二分查找的方法，在每次查找的过程中，计算出左子区间和右子区间内的缺失元素数量，然后判断 k 是否在左子区间或右子区间内。具体而言，每次查找的过程如下：

1. 计算当前区间的中间位置 mid。
2. 计算左子区间和右子区间内缺失元素的数量 missing_left 和 missing_right。
3. 如果 k <= missing_left，则表示要找的元素在左子区间中，此时将右端点 right 更新为 mid - 1。
4. 如果 missing_left < k <= missing_right，则表示要找的元素就是 nums[left] + k + (missing_left - k)，直接返回该值。
5. 如果 k > missing_right，则表示要找的元素在右子区间中，此时将左端点 left 更新为 mid + 1。

代码实现

from typing import List

class Solution:
    def findKthMissingNumber(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        left, right = 0, n - 1
        
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            
            missing_left = nums[mid] - nums[left] - (mid - left)
            missing_right = nums[right] - nums[mid] - (right - mid)
            
            if k <= missing_left:
                right = mid - 1
            elif missing_left < k <= missing_right:
                return nums[left] + k + (missing_left - k)
            else:
                left = mid + 1
        
        return nums[left-1] + k  # k 超出数组范围的情况

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log{n})$。
• 空间复杂度：$O(1)$。