题目描述

给定平面直角坐标系上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，以及一个正整数k。求A和B之间恰好具有k个等距点的圆弧中钝角的数量。

思路

1. 计算点A和点B的距离d。
2. 如果k = 0，则直接计算圆的面积并返回；否则进入下一步。
3. 计算所有长度等于d/k的线段的中点坐标，这些中点构成等距点的坐标集合。
4. 将每个等距点作为圆心，半径为d/2的圆与直线AB相交，计算该圆弧的中心角度，并统计圆弧的数量。如果圆弧的角度大于90度，则该圆弧为钝角圆弧，加入钝角数量统计。
5. 返回钝角数量。

代码实现

def count_obtuse_angles(x1, y1, x2, y2, k):
    """
    计算A和B之间恰好具备k个等距点的圆弧中钝角的数量
    """
    import math

    # 计算两点之间的距离d
    d = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2)

    if k == 0:
        # 当k为0时，直接计算半径为d/2的圆的面积
        area = math.pi * (d / 2) ** 2
        return f"### 返回结果\n\n半径为$d/2$的圆的面积为$area$"

    # 计算步长
    step = d / k

    # 记录等距点坐标的集合
    points = set()

    # 计算等距点的坐标
    for i in range(1, k):
        x = x1 + (x2 - x1) * i / k
        y = y1 + (y2 - y1) * i / k
        points.add((x, y))

    # 统计钝角圆弧的数量
    obtuse_angles = 0

    for point in points:
        # 计算以point为圆心，半径为d/2的圆与直线AB的交点坐标
        dx = x2 - x1
        dy = y2 - y1
        dr = math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2)
        D = (x1 * y2) - (x2 * y1)
        discriminant = (d / 2) ** 2 * dr ** 2 - D ** 2

        if discriminant >= 0:
            # 计算交点坐标
            intersection1_x = (D * dy + dx * math.sqrt(discriminant)) / dr ** 2
            intersection1_y = (-D * dx + dy * math.sqrt(discriminant)) / dr ** 2
            intersection2_x = (D * dy - dx * math.sqrt(discriminant)) / dr ** 2
            intersection2_y = (-D * dx - dy * math.sqrt(discriminant)) / dr ** 2

            # 计算圆弧中心角的度数
            angle1 = math.atan2(intersection1_y - point[1], intersection1_x - point[0])
            angle2 = math.atan2(intersection2_y - point[1], intersection2_x - point[0])
            degree = math.degrees(angle1 - angle2)

            if degree > 180:
                degree = 360 - degree

            # 统计钝角圆弧的数量
            if degree > 90:
                obtuse_angles += 1

    return f"### 返回结果\n\nA和B之间恰好具备k个等距点的圆弧中钝角的数量为$obtuse\_angles$。"

测试样例

• 测试用例1

  A(0, 0)，B(0, 4)，k=2
  

  期望返回结果：

  A和B之间恰好具备k个等距点的圆弧中钝角的数量为1。
  

• 测试用例2

  A(0, 0)，B(4, 4)，k=0
  

  期望返回结果：

  半径为$d/2$的圆的面积为$8\pi$。
  

• 测试用例3

  A(0, 0)，B(3, 3)，k=3
  

  期望返回结果：

  A和B之间恰好具备k个等距点的圆弧中钝角的数量为0。