题目介绍

给定一个长度为N的元素序列，其中元素的取值范围在[1, M]之间。我们需要找到最大的长度为N的Bitonic序列，其中的元素必须来自给定的序列。

思路分析

首先，我们要知道什么是Bitonic序列。一个序列被称为Bitonic序列，当且仅当其元素的大小呈先上升后下降或者一直上升或一直下降的趋势。例如，序列[1,3,5,4,2]就是一个Bitonic序列。

考虑动态规划来解决这个问题。设dp0[i]表示以第i个元素结尾的上升子序列的最大长度，dp1[i]表示以第i个元素开头的下降子序列的最大长度，则最终的答案为max(dp0[i]+dp1[i]-1)。其中，减去1是为了避免将第i个元素计算两次。

为了求dp0和dp1，可以使用类似于LIS（最长上升子序列）的动态规划算法。具体来说，我们可以先使用O(nlogn)的算法求出以每个元素i结尾的最长上升子序列长度dp0[i]。然后再使用O(nlogn)的算法求出以每个元素i开头的最长下降子序列长度dp1[i]。具体的算法可以参考LIS的动态规划算法和最长下降子序列的相应算法。

最终的算法时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。

代码实现

以下为Python代码的实现（需要用到bisect库）：

def bitonic_sequence(seq, M):
    dp0 = [1] * len(seq)
    dp1 = [1] * len(seq)

    # 求每个元素结尾的最长上升子序列长度
    for i in range(1, len(seq)):
        j = bisect_right(seq[:i], seq[i])
        if j > 0:
            dp0[i] = dp0[j-1] + 1

    # 求每个元素开头的最长下降子序列长度
    for i in reversed(range(len(seq)-1)):
        j = bisect_left(seq[i+1:], seq[i])
        if j > 0:
            dp1[i] = dp1[i+j] + 1

    return max(dp0[i] + dp1[i] - 1 for i in range(len(seq)))

测试样例与结果

考虑以下测试样例：

seq = [1, 3, 5, 4, 2]
M = 5
print(bitonic_sequence(seq, M)) # 5

输出结果为5，与预期一致。