计算每个数组元素中最大的子序列

对于一个数组，可以选取其中一个连续的子序列，并且求出这个子序列中所有元素的和。我们称这个和为该子序列的和。现在，给定一个数组，计算其中所有子序列的最大和。

暴力穷举法

我们可以枚举出所有的子序列，并计算每一个子序列的和。具体实现如下：

def max_subarray(nums):
    res = float('-inf')
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i, len(nums)):
            sum = 0
            for k in range(i, j+1):
                sum += nums[k]
            if sum > res:
                res = sum
    return res

时间复杂度为$O(n^3)$，空间复杂度为$O(1)$。

动态规划法

我们可以通过动态规划求出数组中的最大子序列和。具体实现如下：

def max_subarray(nums):
    max_sum = nums[0]
    cur_sum = nums[0]
    for i in range(1, len(nums)):
        cur_sum = max(cur_sum+nums[i], nums[i])
        max_sum = max(max_sum, cur_sum)
    return max_sum

其中，cur_sum表示当前子序列的和，max_sum表示最大子序列和。

时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(1)$。

分治法

我们可以将数组分成两个部分，分别计算左右两个部分的最大子序列和，然后将左右两个部分的最大子序列和和跨越两个部分的最大子序列和进行比较，得出最终的答案。具体实现如下：

def max_cross_subarray(nums, l, m, r):
    left_sum = float('-inf')
    sum = 0
    for i in range(m, l-1, -1):
        sum += nums[i]
        if sum > left_sum:
            left_sum = sum
            
    right_sum = float('-inf')
    sum = 0
    for i in range(m+1, r+1):
        sum += nums[i]
        if sum > right_sum:
            right_sum = sum
            
    return left_sum + right_sum
    
def max_subarray(nums,l,r):
    if l == r:
        return nums[l]
    m = (l+r)//2
    return max(max_subarray(nums,l,m), max_subarray(nums,m+1,r), max_cross_subarray(nums,l,m,r))

其中，max_cross_subarray函数用于计算跨越左右两个子序列的最大子序列和。

时间复杂度为$O(n\log n)$，空间复杂度为$O(\log n)$。

总结

以上三种方法均可求出数组中的最大子序列和，但它们的时间复杂度各不相同。在实际应用中，我们需要选择最适合自己需求的方法。