找到最接近 a^b 的 x 的倍数

在某些应用场景中，我们需要找到一个数 x，使得其是 a^b 的最接近的倍数。也就是说，它是 a^b 的一个倍数，并且与 a^b 的差值最小。

解法

为了解决这个问题，我们可以使用二分搜索。首先我们可以确定 a^b 的下限和上限，下限为 0，上限为 a^b。然后每次将区间缩小一半，直到找到最接近的倍数为止。

具体来说，我们可以从 1 开始，每次将当前值乘以 a，直到它大于等于 x 的两倍。然后我们将当前值除以 a，这样就得到了离 a^b 最近的倍数。

def closest_multiple(a: int, b: int, x: int) -> int:
    lo, hi = 0, a ** b
    
    while lo < hi:
        mid = (lo + hi) // 2
        
        if abs(mid - x * (mid // x)) < abs((mid + x) - x * ((mid + x) // x)):
            hi = mid
        else:
            lo = mid + x
            
    return lo

性能

这个算法的时间复杂度为 O(log a^b)，空间复杂度为 O(1)。因此它非常适合解决大数据量的问题，而且也能够很快地处理较小的数据集。