通过一次过滤子矩阵来最大化二进制矩阵

简介

二进制矩阵中包含的所有值都是0或1。我们的目标是找出一个子矩阵，使得它包含的1的数量最多。这可以通过子矩阵的列范围和行范围定义。

具体来说，我们将搜索一个矩阵，以找到包含最多1的子矩阵。我们将这个算法称为“一次过滤子矩阵”。

策略概述

我们可以将问题分解为子问题，以简化我们的处理。我们知道整个矩阵中有n个行和m个列，但是我们可以将每个行和每个列视为独立的子问题。

因此，我们要找到包含最多1的子矩阵，就需要找到每行和每列中包含最多1的子矩阵。然后，我们将最佳行和最佳列的结果组合起来，得到包含最多1的子矩阵。

我们使用动态编程来解决这个问题。我们首先使用一个辅助矩阵来存储在矩阵中一个给定位置处的连续1的数量。之后，我们可以将1的连续序列作为矩形，计算其面积。对于每个位置，我们可以根据对角线上的矩阵的数量来计算它包含多少1。

代码示例

def rectangle_area(row):
  stack = []
  ans = 0
  for i, height in enumerate(row):
    while stack and row[stack[-1]] >= height:
      h = row[stack.pop()]
      w = i if not stack else i - stack[-1] - 1
      ans = max(ans, h*w)
    stack.append(i)
  while stack:
    h = row[stack.pop()]
    w = len(row) if not stack else len(row) - stack[-1] - 1
    ans = max(ans, h*w)
  return ans

def max_submatrix(matrix):
  if not matrix:
    return 0
  row_cache = [[0 for _ in matrix[0]] for _ in matrix]
  for i in range(len(matrix)):
    for j in range(len(matrix[0])):
      row_cache[i][j] = row_cache[i][j-1] + 1 if matrix[i][j] else 0
  ans = 0
  for row in row_cache:
    ans = max(ans, rectangle_area(row))
  return ans

在这里，我们首先定义了一个函数rectangle_area，用于查找给定行中所有矩形的最大面积。然后，我们根据每行的数据计算一个辅助矩阵，并使用rectangle_area函数计算每行中最大的矩形面积。我们最后返回最大的面积，这将是包含最多1的子矩阵的面积。

总结

通过一次过滤子矩阵来最大化二进制矩阵是一个非常有用的算法，适用于许多问题。此方法的关键是分解问题，并使用动态编程来解决子问题。我们还实现了一个矩形最大面积查找函数，并通过这个函数查找最大矩形面积。这些技巧可用于很多其他类型的问题。