每个元素的数字总和为合成数的最长子序列的长度

问题描述

给定一个正整数数组，找到其中元素数字总和为合成数的最长子序列的长度。合成数指的是将任意两位数相加（如 12 = 1 + 2），重复该操作直到得到一个单个数字为止。例如，对于数组 [98, 67, 55, 34, 71, 21, 17, 69] 而言，其最长的元素数字总和为合成数的子序列为 [34, 71, 21, 17, 69]，其合成数为 3，并且其长度为 5，因为在原数组中子序列 [98, 67, 55, 69] 同样有合成数 3，但它的长度只有 4。

解题思路

这个问题可以使用动态规划来解决。首先需要编写一个函数来计算一个数字的合成数。对于计算出的每个合成数，都可以视为一个状态，它的值为该状态对应的元素数字总和为该合成数的最长子序列的长度。考虑使用一个数组 dp 来记录这些状态，其中 dp[i] 表示元素数字总和为合成数 i 的最长子序列的长度。对于数组中的每个元素 nums[j]，计算出它的合成数 x，并更新 dp[x]。然后，对于 dp 中的每个元素，都与 dp[1] 比较，并记录最大的值。最终返回的即为 dp[1]。

代码实现

def digit_sum(num):
    '''计算数字的合成数'''
    while num > 9:
        num = sum(int(i) for i in str(num))
    return num

def longest_composite_sequence(nums):
    '''求元素数字总和为合成数的最长子序列的长度'''
    dp = [0] * 10
    for num in nums:
        x = digit_sum(num)
        dp[x] = max(dp[x], max(dp[:x]) + 1)
    return dp[1]

复杂度分析

• 时间复杂度：计算合成数的时间复杂度为 O(log n)，更新 dp 数组的时间复杂度为 O(n)，因此总时间复杂度为 O(n log n)。
• 空间复杂度：需要使用一个长度为 10 的数组来记录 dp，因此空间复杂度为 O(1)。

参考文献

• LeetCode 1496. Path Crossing