可以从 K 开始形成的 N 大小数组的计数

问题描述

给定两个正整数 K 和 N，计算可以从 K 开始形成的长度为 N 的数组的数量，使得每个元素都可以被下一个元素整除。

解决思路

动态规划

可以使用动态规划来解决这个问题。

令 dp[i][j] 表示以数字 i 结尾的长度为 j 的合法序列的数量。也就是说，序列的第 j 项为 i。

对于每个 i，首先令 dp[i][1] = 1，表示长度为 1 的合法序列只有一个，就是只包含一个数字 i。

然后对于每个 i 和 j，枚举 k，计算 dp[k][j-1]。如果当前 i 可以整除 k，就将 dp[k][j-1] 加到 dp[i][j] 中。

最终的答案就是将所有 dp[i][N] 加起来。

代码实现

def countArray(k: int, n: int) -> int:
    # 初始化动态规划数组
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(k + 1)]
    for i in range(1, k + 1):
        dp[i][1] = 1

    # 动态规划
    for j in range(2, n + 1):
        for i in range(1, k + 1):
            for p in range(1, k + 1):
                if i % p == 0:
                    dp[i][j] += dp[p][j - 1]

    # 计算答案
    ans = 0
    for i in range(1, k + 1):
        ans += dp[i][n]
    return ans

总结

本文介绍了如何使用动态规划来计算可以从 K 开始形成的长度为 N 的数组的数量，使得每个元素都可以被下一个元素整除。该算法的时间复杂度为 O(k^2n)，空间复杂度为 O(kn)。