计算数组中由2的幂整除的元素对

有一个数组，其中包含许多由2的幂组成的数字。现在我们需要编写一个程序来计算由该数组中的一个元素整除另一个元素组成的元素对数量。

问题描述

给定一个大小为n的整数数组nums，计算有多少对 (i, j) 满足：

1. i != j
2. nums[i]能整除nums[j]
3. nums[j]是2的幂次方

例如，对于输入数组nums=[1,2,4,8]，应该返回2，因为只有两个元素对满足条件：

1. (0,2)，因为1能够整除4
2. (0,3)，因为1能够整除8

解决方案

我们可以直接使用两个for循环来枚举所有元素对，这种方法的时间复杂度为O(n^2)，并且不太适用于大规模数据集。因此，我们需要通过其他方式来降低复杂度。

我们可以使用哈希表来存储2的幂次方数和它们出现的次数。然后，我们可以遍历nums数组中的元素，检查是否有其他元素可以整除它。如果有，那么我们将使用哈希表中所有2的幂次方数的数量来更新结果。

以下是这种方法的具体实现：

def count_divisible_pairs(nums):
    # Count the occurrences of powers of two
    powers_of_two = {}
    for num in nums:
        while num % 2 == 0:
            num /= 2
            if num not in powers_of_two:
                powers_of_two[num] = 0
            powers_of_two[num] += 1

    # Find the divisible pairs
    count = 0
    for num in nums:
        for power, frequency in powers_of_two.items():
            if num % power == 0:
                count += frequency

    return count

复杂度分析

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中logn来自于检查每个数字是否是2的幂次方。该算法的空间复杂度为O(n)，其中n是输入数组的大小，主要用于存储哈希表。

总结

这是一个有趣而实用的问题，它突显了哈希表在计算中的重要性。通过使用哈希表，我们可以显著降低复杂度，并在最短时间内获得最优解。