RD Sharma 解决方案 – 第 23 章向量代数 – 练习 23.5

RD Sharma 数学书籍是印度最受欢迎的数学参考书籍之一。其中第 23 章讨论的是向量代数。练习 23.5 主要涉及向量的三角函数。

如果你正在寻找 RD Sharma 解决方案 – 第 23 章向量代数 – 练习 23.5，你来到了正确的地方。以下是本练习的解决方案：

练习 23.5 解决方案：

问题 1：

证明 $\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ ，其中 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是非零向量。

解决方案：

由标量积的定义，我们有 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})$。因此，我们可以将此方程重写为 $\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

问题 2：

证明 $\sin(\vec{a},\vec{b})=\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ ，其中 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是非零向量。

解决方案：

由向量积的定义，我们有 $|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin(\vec{a},\vec{b})$。因此，我们可以将此方程重写为 $\sin(\vec{a},\vec{b})=\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

问题 3：

证明以下等式：

(a) $\cos(\vec{a},\vec{b})=\cos(\vec{b},\vec{a})$

(b) $\sin(\vec{a},\vec{b})=-\sin(\vec{b},\vec{a})$

解决方案：

(a) 我们有 $\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，而 $\cos(\vec{b},\vec{a})=\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{|\vec{b}||\vec{a}|}$。由于 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$，我们可以将上述两个方程组合起来得到 $\cos(\vec{a},\vec{b})=\cos(\vec{b},\vec{a})$。

(b) 我们有 $\sin(\vec{a},\vec{b})=\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，而 $\sin(\vec{b},\vec{a})=\frac{|\vec{b}\times\vec{a}|}{|\vec{b}||\vec{a}|}$。由于 $\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})$，我们可以将上述两个方程组合起来得到 $\sin(\vec{a},\vec{b})=-\sin(\vec{b},\vec{a})$。

以上是 RD Sharma 解决方案 – 第 23 章向量代数 – 练习 23.5 的完整解决方案。我们希望这篇文章对你有所帮助。