RD Sharma 解决方案 - 向量代数 - 练习 23.4

RD Sharma 是一本重要的数学教材，其解决方案可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。本文介绍 RD Sharma 向量代数第 23 章的第 12 类练习 23.4 的解决方案。

问题描述

设 $\textbf{a}$ 和 $\textbf{b}$ 是两个不共线的向量，$\alpha,\beta$ 是实数，且 $\alpha+\beta=1$。如果向量 $\textbf{c}=\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{b}$，则证明 $\textbf{c}$ 与 $\textbf{a}-\textbf{b}$ 正交。

解决方案

要证明向量 $\textbf{c}$ 与 $\textbf{a}-\textbf{b}$ 正交，只需证明它们的点积为 0，即：

$$\textbf{c}\cdot(\textbf{a}-\textbf{b})=0$$

将 $\textbf{c}=\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{b}$ 代入上式可得：

$$(\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{b})\cdot(\textbf{a}-\textbf{b})=0$$

展开后得：

$$\alpha\textbf{a}\cdot\textbf{a}+\beta\textbf{b}\cdot\textbf{a}-\alpha\textbf{a}\cdot\textbf{b}-\beta\textbf{b}\cdot\textbf{b}=0$$

由于 $\textbf{a}$ 和 $\textbf{b}$ 不共线，所以 $\textbf{a}\cdot\textbf{b}\neq0$。将 $\alpha+\beta=1$ 代入上式，可以化简得：

$$\alpha(\textbf{a}\cdot\textbf{a}-\textbf{a}\cdot\textbf{b})+\beta(\textbf{b}\cdot\textbf{a}-\textbf{b}\cdot\textbf{b})=0$$

由于 $\textbf{a}\cdot\textbf{a}$ 和 $\textbf{b}\cdot\textbf{b}$ 都是实数且大于 0，所以 $\alpha$ 和 $\beta$ 必须同时为 0 才能满足上式。因此：

$$\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{b}=0\Rightarrow\alpha=\beta=0$$

代入 $\alpha+\beta=1$ 可知这是不可能的，因此假设不成立，原命题得证。

总结

本文介绍了 RD Sharma 向量代数第 23 章的第 12 类练习 23.4 的解决方案。我们通过求解向量的点积，证明了 $\textbf{c}$ 和 $\textbf{a}-\textbf{b}$ 正交的命题成立。