证明集团决策问题是NP完全的

先决条件： NP完成

集团是图的子图，因此该子图中的所有顶点都相互连接，即子图是完整图。最大派系问题是找到给定图G的最大大小派系，该图是一个完整图，它是G的子图，并包含最大数量的顶点。这是一个优化问题。相应地，集团决策问题是要确定给定图中是否存在大小为k的集团。

为了证明问题是NP-完全的，我们必须证明它属于NP和NP-Hard类。 (由于NP-完全问题是NP-Hard问题，也属于NP)

集团决策问题属于NP –如果问题属于NP类，则它应具有多项式时间可验证性，即具有证书，我们应该能够在多项式时间内验证它是否是该问题的解决方案。

证明：

1. 证书–将证书设为由集团中的节点组成的集合S，而S是G的子图。
2. 验证–我们必须检查图中是否存在大小为k的集团。因此，验证S中的节点数是否等于k，需要O(1)时间。验证每个顶点的出度(k-1)是否为O(k ² )时间。 (由于在完整图中，每个顶点都通过一条边连接到其他每个顶点。因此，在完整图中，边的总数= ^k C ₂ = k *(k-1)/ 2)。因此，要检查由S中的k个节点形成的图是否完整，需要O(k ² )= O(n ² )时间(因为k <= n，其中n是G中的顶点数)。

因此，集团决策问题具有多项式时间可验证性，因此属于NP类。

集团决策问题属于NP-Hard –如果每个NP问题都可以在多项式时间内归纳为L，则问题L属于NP-Hard。现在，让C提出“派系决策问题”。为了证明C是NP-Hard问题，我们采用一个已知的NP-Hard问题，即S，并针对特定实例将其简化为C。如果这种减少可以在多项式时间内完成，那么C也是NP-Hard问题。布尔可满足性问题(S)是一个库克定理证明的NP完全问题。因此，可以在多项式时间内将NP中的每个问题简化为S。因此，如果在多项式时间内将S简化为C，则可以将每个NP问题在多项式时间内简化为C，从而证明C为NP-Hard。

布尔可满足性问题简化为集团决策问题的证明
让布尔表达式是- F =(X ₁ VX _{2)^(X 1} ‘VX _{2’)^(X 1} VX ₃₎其中X _{1，X 2，X 3}是变量， ‘^’表示逻辑“与’，’v’表示逻辑’或’，而x’表示x的补码。让每个括号内的表达式为一个子句。因此，我们有三个子句– C ₁ ，C ₂和C ₃ 。考虑顶点为- 1，1>; 2，1 >; 1 ‘，2>; 2 ‘，2>; 1，3>; 3，3 >其中每个顶点中的第二项表示它们所属的从句编号。我们连接这些顶点，以便–

1. 没有两个属于同一子句的顶点被连接。
2. 没有变量与其补码连接。

因此，图G(V，E)的构造使得– V = {< | | a属于C _i }，E = {(，)|我不等于j; b不等于a’}考虑顶点为2，1 >的G的子图； 1 ‘，2>; _<×3，3>。它形成了一个大小为3的集团(上图中的虚线所示)。与此对应，对于赋值– 1 ，x ₂ ，x ₃ > = <0，1，1>，F的结果为true。因此，如果我们在可满足性表达式中有k个子句，我们将得到大小为k的最大集团，并且对于值的相应分配，可满足性表达式的计算结果为true。因此，在特定情况下，可满足性问题被简化为集团决策问题。

因此，集团决策问题是NP-Hard。

结论
集团决策问题是NP和NP-Hard。因此，集团决策问题是NP-Complete。