在允许交换列的情况下找到最大的 1 矩形

简介

在一个包含 0 和 1 的矩阵中，找到最大的全为 1 的子矩阵。该问题也被称为“最大子矩形问题”。

在允许交换列的情况下找到最大的 1 矩形意味着我们可以对矩阵的列进行重排序以获得最大的全为 1 的子矩阵。

算法

我们使用以下算法来解决这个问题：

1. 对于每一行，将其元素 0 或 1 转换为其在当前行连续的 1 的数量。
2. 对于每一行，将其元素增加一个计数器，该计数器跟踪在该行中包含这一行作为上边界的最大矩形的高度。
3. 对于每一行执行步骤 2 产生的计数器，寻找最大矩形的面积。

以下是实现该算法的 Python 代码：

def maximalRectangle(matrix):
    if not matrix:
        return 0

    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    heights = [0] * n
    max_area = 0

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == '1':
                heights[j] += 1
            else:
                heights[j] = 0

        stack = [-1]
        for j in range(n):
            while stack[-1] != -1 and heights[stack[-1]] >= heights[j]:
                h = heights[stack.pop()]
                w = j - stack[-1] - 1
                max_area = max(max_area, h * w)
            stack.append(j)

        while stack[-1] != -1:
            h = heights[stack.pop()]
            w = n - stack[-1] - 1
            max_area = max(max_area, h * w)

    return max_area

复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。

空间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是矩阵的列数。

结论

在允许交换列的情况下找到最大的 1 矩形可以通过计算矩阵的每一行的高度和寻找最大矩阵的面积来实现。该算法的时间和空间复杂度与矩阵的大小成比例。