数字系统：数字的循环

数制是一种借助一组符号和规则在数轴上表示数字的方法。这些符号的范围为 0-9，称为数字。数字系统用于执行数学计算，从伟大的科学计算到计算儿童玩具的数量或盒子中剩余的巧克力数量等计算。数字系统根据其数字的基值包括多种类型。

数字的循环：任何数字的循环主要集中在它的个位上。当提升到任何幂时，每个单位数字都有自己的重复模式。这个概念在解决能力问题时非常有用。数字循环的概念可以通过计算从 0 到 9 的所有个位数字在提高到一定的幂时的个位数来学习。这些数字可以大致分为以下三类：

1. 数字 0、1、5 和 6：在这里，当这些数字中的每一个都被提升到任意幂时，最终答案的个位就是数字本身。

例子：

1. 5 ^ 2 = 25: Unit digit is 5, the number itself.
2. 1 ^ 6 = 1: Unit digit is 1, the number itself.
3. 0 ^ 4 = 0: Unit digit is 0, the number itself.
4. 6 ^ 3 = 216: Unit digit is 6, the number itself.

以下是基于上述概念的一些问题：

问题一：求 416 ³⁴⁵的个位。

答：只要找到 6 ³⁴⁵ ，它的个位数就是 6，因此 416 ³⁴⁵的个位数是 6。

问题二：求 235 ³⁴⁵⁶⁶的个位。

答案：求 5 ³⁴⁵⁶⁶ ，其个位数为 5，因此 235 ³⁴⁵⁶⁶的个位数为 5。

2. 数字 4 和 9：这两个数字 4 和 9 都具有两个不同数字作为其个位的循环性。

例子：

1. 4 ^ 2 = 16: Unit digit is 6.
2. 4 ^ 3 = 64: Unit digit is 4.
3. 4 ^ 4 = 256: Unit digit is 6.
4. 4 ^ 5 = 1024: Unit digit is 4.
5. 9 ^ 2 = 81: Unit digit is 1.
6. 9 ^ 3 = 729: Unit digit is 9.

可以观察到单位数字 6 和 4 以奇偶顺序重复。因此，4 的循环性为 2。与 9 的情况类似。

可以概括如下：

4^奇数= 4：如果将 4 提高到奇数次方，则个位数为 4。
4^偶数= 6：如果将 4 提高到偶数次方，则个位数为 6。
9^奇数= 9：如果将 9 提高到奇数次方，则个位数为 9。
9^偶数= 1：如果 9 乘以偶数次方，则个位为 1。

以下是基于上述概念的一些问题：

问题一：求 414 ²³的个位。

答： 23是奇数，所以4^奇=4，所以个位是4。

问题 2：求 29 ⁸²的个位。

答： 82是偶数，所以9^偶=1，所以个位是1。

3. 数字 2、3、7 和 8：这些数字具有四个不同数字的循环性。

例子：

1. 2 ^ 1 = 2: Unit digit is 2.
2. 2 ^ 2 = 4: Unit digit is 4.
3. 2 ^ 3 = 8: Unit digit is 8.
4. 2 ^ 4 = 16: Unit digit is 6.
5. 2 ^ 5 = 32: Unit digit is 2.
6. 2 ^ 6 = 64: Unit digit is 4.

可以观察到，单位数字 2、4、8、6 在四个数字的周期后会重复。相似地，

3 的循环有 4 个不同的数字：3、9、7、1。
7的循环有4个不同的数字：7、9、3、1。
8的循环有4个不同的数字：8、4、2、4。

以下是基于上述概念的一些问题：

问题 1：求 257 ³⁴⁵的个位。

答案： 345 % 4 = 1，所以 7 ¹ ，因此个位是 7。

问题 2：求 423 ⁴³的个位。

答案： 43 % 4 = 3，所以 3 ³ ，因此 7 是个位。

问题 3：求 28 ¹⁴⁶的个位。

答案： 146 % 4 = 2，所以 8 ² ，因此个位是 4。

循环表：上面讨论的概念可以概括为：

Number	Cyclicity	Power Cycle
1	1	1
2	4	2, 4, 8, 6
3	4	3, 9, 7, 1
4	2	4, 6
5	1	5
6	1	6
7	4	7, 9, 3, 1
8	4	8, 4, 2, 6
9	2	9, 1
10	1	0