SymPy-四元数

介绍

SymPy是一个Python库，用于计算符号数学，而四元数是一种数学对象，用于表示3D旋转和方向。SymPy包含支持四元数和四元数代数的模块，并允许您执行各种常见操作，例如四元数乘法，减法，加法和除法。在本文中，我们将介绍SymPy中的四元数模块，并演示如何使用它来执行各种四元数操作。

安装

安装SymPy很容易，只需要使用pip命令即可：

pip install sympy

创建四元数

要创建四元数，我们需要使用Quaternion类。四元数可以表示为a + bi + cj + dk的形式，其中a，b，c和d是实数字，i，j和k是单位虚数。以下示例演示如何创建四元数对象：

from sympy import Quaternion

q = Quaternion(1, 2, 3, 4)
print(q)

输出结果：

1 + 2*i + 3*j + 4*k

四元数属性

四元数有多个属性，可以使用SymPy中的四元数模块访问这些属性。以下是可用的属性：

• q.a：四元数的实部。
• q.b：四元数的虚部i系数。
• q.c：四元数的虚部j系数。
• q.d：四元数的虚部k系数。
• q.abs()：四元数的模数。
• q.norm()：四元数的范数。
• q.conjugate()：四元数的共轭。
• q.inverse()：四元数的逆。

所有属性在下面的代码片段中进行了演示：

from sympy import Quaternion

q = Quaternion(1, 2, 3, 4)

print(q.a) # 1
print(q.b) # 2
print(q.c) # 3
print(q.d) # 4
print(q.abs()) # sqrt(30)
print(q.norm()) # 30
print(q.conjugate()) # 1 - 2*i - 3*j - 4*k
print(q.inverse()) # 1/30 - 1/15*i - 1/10*j - 2/15*k

四元数操作

SymPy中的四元数模块支持各种操作，例如四元数加减法，乘法和除法。以下示例演示如何执行这些操作：

from sympy import Quaternion

q1 = Quaternion(1, 2, 3, 4)
q2 = Quaternion(5, 6, 7, 8)

print(q1 + q2) # 6 + 8*i + 10*j + 12*k
print(q1 - q2) # -4 - 4*i - 4*j - 4*k
print(q1 * q2) # -60 + 12*i + 30*j + 24*k
print(q1 / q2) # (-11/120) + (1/30)*i + (7/60)*j + (1/15)*k

利用四元数旋转

四元数最常用的应用之一是在3D图形中进行旋转。SymPy模块中的四元数类包含方便的方法，可以使用四元数来执行旋转。以下示例演示如何使用四元数来执行2D旋转：

from sympy import Quaternion, pi

q = Quaternion.from_axis_angle([0, 0, 1], pi / 4)
p = Quaternion(0, 1, 0, 0)

q_rotated_p = q * p * q.conjugate()

print(q_rotated_p.b) # 0.707106781186547
print(q_rotated_p.c) # 0.707106781186547

在此示例中，我们创建了一个表示绕z轴旋转45度的四元数“q”。然后，我们定义一个表示原点在(1,0,0)处的点的四元数“p”。我们然后计算旋转后的点“q_rotated_p”，并输出其“y”和“z”值。“y”和“z”值分别是0.707106781186547，这是我们期望的值。

总结

在本文中，我们介绍了SymPy中的四元数模块，并演示了如何使用它来执行各种四元数操作以及旋转操作。此外，我们还介绍了SymPy中四元数模块的各种属性，包括模数，范数，共轭和逆。四元数可以应用于许多不同领域，包括3D图形，物理学，动力学和控制系统，因此掌握SymPy中的四元数模块对任何程序员来说都是一项有价值的技能。