O(sum) 空间中的子集和问题

简介

给定一个集合 S，其中每个元素都是正整数，和一个目标和 sum，求 S 中是否存在一个子集，使得子集元素的和等于 sum。

解法

动态规划

我们可以使用动态规划来解决子集和问题。假设我们有一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 个元素中是否存在一个子集，使得子集元素的和等于 j。

根据子集和问题的定义，dp[0][0] = true，表示空集的和为 0。同时，dp[0][j] = false，表示空集不能组成任何元素和。

对于元素集合为 S = {a1, a2, ..., an}，我们可以考虑如下两种情况：

1. 如果当前元素 ai 可以不选，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]
2. 如果当前元素必须选，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]]

最终，我们只需要返回 dp[n][sum] 即可。

def subsetSum(S, sum):
    n = len(S)
    dp = [[False] * (sum+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = True
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = True
        for j in range(1, sum+1):
            if S[i-1] > j:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-S[i-1]]
    return dp[n][sum]

状态压缩

由于在上述动态规划解法中，我们只需要保存上一行的状态，因此可以使用状态压缩来减少空间复杂度。具体来说，我们可以使用一个一维数组 dp 来保存状态，其中 dp[j] 表示前 i 个元素中是否存在一个子集，使得子集元素的和等于 j。

def subsetSum(S, sum):
    n = len(S)
    dp = [False] * (sum+1)
    dp[0] = True
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(sum, 0, -1):
            if S[i-1] <= j:
                dp[j] = dp[j] or dp[j-S[i-1]]
    return dp[sum]

总结

子集和问题是一个经典的动态规划问题，在实际应用中有着广泛的应用。通过本文的介绍，我们了解了动态规划和状态压缩两种解法，并实现了对应的代码。