第 12 课 RD Sharma 解决方案 – 第 28 章空间直线 – 练习 28.2 |设置 2

简介

本篇文章是 RD Sharma 第 12 课的解决方案集，针对第 28 章空间直线中的练习 28.2，设置 2 进行解答。本篇文章主要讲解了空间中直线的相关知识，包括直线的点向式，直线的截距式，两直线的位置关系等。

练习 28.2 |设置 2

已知直线 $L_1$ 的参数方程为 $x = 1 + 2t,\ y=-1+t,\ z=4-t$，直线 $L_2$ 过点 $(0,-2,2)$，且与直线 $L_1$ 垂直，求直线 $L_2$ 的参数方程。

解题思路

由题意可知，直线 $L_2$ 垂直于直线 $L_1$，因此可以先求出直线 $L_1$ 的方向向量再求直线 $L_2$ 的方向向量，最后再通过已知点 $(0,-2,2)$ 和方向向量求得直线 $L_2$ 的参数方程。

• 求直线 $L_1$ 的方向向量

直线 $L_1$ 的两个点为 $(1,-1,4)$ 和 $(3,0,2)$，因此可以得到直线 $L_1$ 的方向向量为 $\overrightarrow{L_1} = \begin{pmatrix}2\1\-2\end{pmatrix}$。

• 求直线 $L_2$ 的方向向量

由于直线 $L_2$ 垂直于直线 $L_1$，因此直线 $L_2$ 的方向向量和直线 $L_1$ 的方向向量垂直。因此可以令直线 $L_2$ 的方向向量为 $\overrightarrow{L_2} = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}$，则 $\overrightarrow{L_1} \cdot \overrightarrow{L_2} = 0$，即

$$ \begin{pmatrix}2\1\-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = 0 $$

解得 $2a + b - 2c = 0$。取 $a=2$，$b=0$，$c=1$，则得到 $\overrightarrow{L_2} = \begin{pmatrix}2\0\1\end{pmatrix}$。

• 求直线 $L_2$ 的参数方程

已知点 $(0,-2,2)$ 在直线 $L_2$ 上，因此可以设直线 $L_2$ 的参数方程为 $x=at$，$y=bt-2$，$z=ct+2$。

直线 $L_2$ 的方向向量为 $\overrightarrow{L_2} = \begin{pmatrix}2\0\1\end{pmatrix}$，因此 $a=2$，$b=0$，$c=1$，代入得到直线 $L_2$ 的参数方程为 $x=2t$，$y=-2$，$z=t+2$。

完整代码

## 练习 28.2 |设置 2

已知直线 $L_1$ 的参数方程为 $x = 1 + 2t,\ y=-1+t,\ z=4-t$，直线 $L_2$ 过点 $(0,-2,2)$，且与直线 $L_1$ 垂直，求直线 $L_2$ 的参数方程。

### 解题思路

由题意可知，直线 $L_2$ 垂直于直线 $L_1$，因此可以先求出直线 $L_1$ 的方向向量再求直线 $L_2$ 的方向向量，最后再通过已知点 $(0,-2,2)$ 和方向向量求得直线 $L_2$ 的参数方程。

- 求直线 $L_1$ 的方向向量

直线 $L_1$ 的两个点为 $(1,-1,4)$ 和 $(3,0,2)$，因此可以得到直线 $L_1$ 的方向向量为 $\overrightarrow{L_1} = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$。

- 求直线 $L_2$ 的方向向量

由于直线 $L_2$ 垂直于直线 $L_1$，因此直线 $L_2$ 的方向向量和直线 $L_1$ 的方向向量垂直。因此可以令直线 $L_2$ 的方向向量为 $\overrightarrow{L_2} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$，则 $\overrightarrow{L_1} \cdot \overrightarrow{L_2} = 0$，即

$$
\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = 0
$$

解得 $2a + b - 2c = 0$。取 $a=2$，$b=0$，$c=1$，则得到 $\overrightarrow{L_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$。

- 求直线 $L_2$ 的参数方程

已知点 $(0,-2,2)$ 在直线 $L_2$ 上，因此可以设直线 $L_2$ 的参数方程为 $x=at$，$y=bt-2$，$z=ct+2$。

直线 $L_2$ 的方向向量为 $\overrightarrow{L_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$，因此 $a=2$，$b=0$，$c=1$，代入得到直线 $L_2$ 的参数方程为 $x=2t$，$y=-2$，$z=t+2$。

总结

本篇文章主要讲解了空间中直线的相关知识，包括直线的点向式，直线的截距式，两直线的位置关系等。通过解答练习 28.2 |设置 2 这一问题，介绍了如何求一条直线在给定条件下的参数方程。通过本篇文章的学习，我们对空间中直线的性质和运用有了更深刻的理解。