有多少种方法可以选择 3 个非负整数使得 a + b + c = 10？

排列被称为按顺序组织组，主体或数字的过程，从集合中选择主体或数字，被称为组合，其中数字的顺序无关紧要。

在数学中，排列也被称为组织一个群的过程，其中一个群的所有成员都被排列成某种顺序或顺序。如果组已经排列，则置换过程称为对其组件的重新定位。排列发生在几乎所有数学领域。它们大多出现在考虑某些有限集合上的不同命令时。

置换公式

在排列中，从一组 n 个事物中挑选出 r 个事物，没有任何替换。在这个挑选的顺序。

ⁿP_r = (n!)/(n – r)!

Here,

n = group size, the total number of things in the group 

r = subset size, the number of things to be selected from the group

组合

组合是从集合中选择数字的函数，这样（不像排列）选择的顺序无关紧要。在较小的情况下，可以计算组合的数量。这种组合被称为一次合并n个事物而不重复。组合起来，顺序无关紧要，您可以按任何顺序选择项目。对于那些允许重复出现的组合，经常使用术语 k-selection 或 k-combination with replication。

组合配方

组合 r 个东西是从一组 n 个东西中挑选出来的，挑选的顺序无关紧要。

ⁿC_r = n!⁄((n-r)! r!

Here,

n = Number of items in set

r = Number of things picked from the group

有多少种方法可以选择 3 个非负整数使得 a + b + c = 10？

解决方案：

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + ………. + x_r = n

then, no. of ways with non-negative integer value = ^n+r-1C_r-1

a + b+ c = 10

n = 10, r = 3

No. of ways with non-negative integer value = ^10+3-1C_3-1

                                                                      = ¹²C₂ = 12!/2!10!

                                                                      = 66 ways

类似问题

问题 1：如果 a + b + c + d = 20，则 (a, b, c, d) 存在多少个唯一的非负整数解？

解决方案：

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + ………. + x_r = n

then, no. of ways with non-negative integer value= ^n+r-1C_r-1

a + b+ c + d = 20

n = 20, r = 4

No. of ways with non-negative integer value = ^20+4-1C_4-1

                                                                      = ²³C₃ = 23!!/3!20!

                                                                      = 1771 ways

问题2：如果a + b + c + d = 20，(a, b, c, d) 有多少个正整数解？

回答：

We assign at least a value of 1 to a, b, c, d.

So, we can say a = a + 1, b = b+ 1, c = c + 1, d = d + 1 where a, b c, d are positive integers

= a+ 1 + b+ 1 + c + 1 + d + 1 = 20

= a + b + c + d = 20 – 4

= a + b + c + d = 16

Number of solutions = ^(16+(4-1)) C_(4-1) 

                                            = ¹⁹C₃  = 19!/3!16!

                                 = 969

问题 3：如果 a + b + c + d=15，对于 (a, b, c, d) 存在多少唯一的非负整数解，使得 a > 5 且 b > 2。

解决方案：

We allocate at least a value of 5 to a and 2 to b

So, a = a + 5 and b = b + 2

= a + 5 + b + 2 + c + d = 15

= a+ b + c + d = 8

Number of solutions = ^(8+4-1)C_(4-1) 

                                 = ¹¹C₃ = 11!/3!8!

                                 = 165

问题 4：如果 a + b + c + d = 20，对于 (a, b, c, d) 存在多少唯一的非负整数解，使得 a > b。

解决方案：

Let us first understand the state where a = b

If a = b = 0, c + d = 20. This has 21 possibilities

If a = b = 1, c + d = 18. This has 19 possibilities

If a = b = 2, c + d = 16. This has 17 possibilities

.

.

If a = b = 10, c + d = 0. This has 1 possibility

So, the total number of a possibilities when a = b is 21 + 19 + 17 … + 1 = 11/2*(21 + 1) = 121

We know that the numeral of chances when a, b, c, and d are non-negative number is 1771. Out of these 1771 occurrence, in 121 occurrence a = b.

So, in 1771 – 121 = 1650 occurrence a is not equal to b.

In half of the above occurrence a will be greater than b whereas in the other half of the occurrence a will be less than b.

So, number of solutions where a > b is 1650/2 = 825