国际空间研究组织 | ISRO CS 2011 | 问题 66

这道题目考查了程序员的算法能力和知识面。题目描述如下：

有一组正整数 $a_1, a_2, ..., a_n$ ，请确定一个长度为 $k$ 的连续子数组，满足以下条件：

• 子数组的和不能被 $m$ 整除
• 子数组的和应尽可能大

返回这个最大和。

算法实现:

def max_subarray(arr, k, m):
    """
    :param arr: List[int] 输入的正整数数组
    :param k: int 连续子数组的长度
    :param m: int 子数组的和不能被m整除
    :return: int 返回最大的连续子数组的和
    """
    n = len(arr)
    if k > n:
        return -1
    
    # 计算前缀和
    prefix = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        prefix[i] = prefix[i - 1] + arr[i - 1]
    
    # 初始化结果和滑动窗口起始位置
    result = -1
    start = 0
    
    # 滑动窗口求解最大和
    for i in range(k, n + 1):
        current_sum = prefix[i] - prefix[start]
        # 判断子数组的和是否能被m整除，若不能则更新最大和
        if current_sum % m != 0:
            result = max(result, current_sum)
            start += 1
        else:
            start += 1
        
    return result

代码解释：

首先，判断连续子数组长度 $k$ 是否超过 $n$ ，若超过则返回 $-1$。

其次，计算输入数组的前缀和，方便接下来的滑动窗口操作。

接着，初始化结果为 $-1$ ，以及滑动窗口的起始位置为 $0$。

最后，利用滑动窗口找到最大连续子数组的和，并判断是否能被 $m$ 整除，更新最大和。

算法正确性证明：

由于本题要求的是最大和且不能被 $m$ 整除，根据子数组和的个数，可以使用滑动窗口的方法进行求解。首先，求得数组的前缀和，接着在长度为 $k$ 的滑动窗口内寻找最大的和并判断是否能被 $m$ 整除，若不能，则更新最大的和。移动窗口，可得到最大的和。

时间复杂度：$O(n)$

其中，$n$ 表示输入数组的长度。

空间复杂度：$O(1)$

由于只定义了常数个变量，没有引入新的数据结构，因此空间复杂度为常数。