数学逻辑规则指定推理数学陈述的方法。希腊哲学家亚里士多德是逻辑推理的先驱。逻辑推理为数学以及计算机科学的许多领域提供了理论基础。它在计算机科学中有许多实际应用，例如计算机的设计，人工智能，用于编程语言的数据结构的定义等。

命题逻辑涉及可以为真值“ true”和“ false”分配的语句。目的是单独或以复合方式分析这些语句。

介词逻辑–定义

命题是陈述性陈述的集合，陈述性陈述具有真值“ true”或真值“ false”。命题由命题变量和连接词组成。我们用大写字母(A，B等)表示命题变量。连词连接命题变量。

命题的一些例子在下面给出-

• “人是凡人”，它返回真值“ TRUE”
• “ 12 + 9 = 3 – 2”，它将返回真值“ FALSE”

以下不是命题-

• “ A小于2”。这是因为除非给出特定的A值，否则我们无法说出该语句是对还是错。

连接词

在命题逻辑中，通常我们使用五个连接词-

• 或($ \ lor $)

• AND($ \ land $)

• 否定/ NOT($ \ lnot $)

• 含义/ if-then($ \ rightarrow $)

• 当且仅当($ \ Leftrightarrow $)。

OR($ \ lor $) -如果至少一个命题变量A或B为真，则两个命题A和B(写为$ A \ lor B $)的OR运算为true。

真值表如下-

AND($ \ land $) -如果命题变量A和B都为真，则两个命题A和B(写为$ A \ land B $)的AND运算为true。

真值表如下-

否定($ \ lnot $) -命题A的否定(写为$ \ lnot A $)在A为true时为false，在A为false时为true。

真值表如下-

蕴涵/ if-then($ \ rightarrow $) -蕴涵$ A \ rightarrow B $是命题“如果A，那么B”。如果A为真，B为假，则为假。其余情况是正确的。

真值表如下-

当且仅当($ \ Leftrightarrow $) − $ A \ Leftrightarrow B $是双条件逻辑连接词，当p和q相同时，即为假或都为真时为真。

真值表如下-

重言式

重言式是一个对命题变量的每个值始终正确的公式。

示例-证明$ \ lbrack(A \ rightarrow B)\ land A \ rbrack \ rightarrow B $是重言式

真值表如下-

正如我们看到的$ \ lbrack(A \ rightarrow B)\ land A \ rbrack \ rightarrow B $的每个值都是“ True”，这是一个重言式。

矛盾之处

矛盾是对于命题变量的每个值始终为假的公式。

示例-证明$(A \ lor B)\ land \ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $是矛盾的

真值表如下-

正如我们看到的$(A \ lor B)\ land \ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $的每个值都是“ False”一样，这是一个矛盾。

偶然性

权变是一个公式，它的命题变量的每个值都有一些真值和一些假值。

示例-证明$(A \ lor B)\ land(\ lnot A)$偶然

真值表如下-

我们可以看到$(A \ lor B)\ land(\ lnot A)$的每个值都具有“ True”和“ False”，这是一种偶然性。

命题对等

如果以下两个条件中的任何一个成立，则两个语句X和Y在逻辑上是等效的-

• 每个语句的真值表具有相同的真值。

• 双条件语句$ X \ Leftrightarrow Y $是重言式。

示例-证明$ \ lnot(A \ lor B)和\ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $是等效的

通过^第一种方法进行测试(匹配真值表)

在这里，我们可以看到$ \ lnot(A \ lor B)和\ lbrack(\ lnotack)\ land(\ lnot B)\ rbrack $的真值是相同的，因此这些语句是等效的。

通过^第二种方法进行测试(双条件)

由于$ \ lbrack \ lnot(A \ lor B)\ rbrack \ Leftrightarrow \ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $是重言式，因此这些语句是等效的。

逆，逆和反正

隐含/ if-then $(\ rightarrow)$也称为条件语句。它分为两部分-

• 假设，p
• 结论，q

如前所述，它表示为$ p \ rightarrow q $。

条件陈述示例-“如果您做作业，您将不会受到惩罚。”在这里，“你做功课”是假设p，“你不会受到惩罚”是结论q。

逆-条件陈述的逆是对假设和结论的否定。如果语句是“如果p，则q”，则反之将是“如果不是p，则q”。因此，$ p \ rightarrow q $的倒数是$ \ lnot p \ rightarrow \ lnot q $。

示例-“如果您不做作业，您将不会受到惩罚”的反面是“如果您不做作业，您将受到惩罚。”

逆-通过互换假设和结论来计算条件陈述的逆。如果语句为“如果p，则q”，则相反为“如果p，则p”。 $ p \ rightarrow q $的倒数是$ q \ rightarrow p $。

示例-“如果您不做作业，就不会受到惩罚”的反义词是“如果您不做作业，就可以使您的功课”。

魂斗罗阳性-有条件的禁忌正被交换的假设和逆声明的结论来计算。如果陈述是“如果p，则q”，则对立为“如果不是q，则p”。 $ p \ rightarrow q $的对立是$ \ lnot q \ rightarrow \ lnot p $。

示例-“如果您做家庭作业，您将不会受到惩罚”的反正数是“如果您受到处罚，您没有进行家庭作业”。

对偶原理

对偶性原则指出，对于任何真陈述，通过将并集交换为交集(反之亦然)并将通用集交换为空集(反之亦然)而获得的对偶陈述也是正确的。如果任何陈述的对偶就是陈述本身，则称其为自我对偶陈述。

示例-$(A \ cap B)\ cup C $的对偶是$(A \ cup B)\ cap C $

正规表格

我们可以将任何命题转换为两种正常形式-

• 合取范式
• 析取范式

合取范式

如果复合语句是通过在与OR关联的变量(包括变量的否定)之间进行“与”运算而获得的，则该语句为合取范式。就集合运算而言，它是由与联合相关的变量之间的交集获得的复合语句。

例子

• $(A \ lor B)\ land(A \ lor C)\ land(B \ lor C \ lor D)$

• $ {P \ cup Q)\ cap(Q \ cup R)$

析取范式

如果复合语句是通过与AND连接的变量(包括变量的否定)之间进行或运算而获得的，则该语句为析取范式。就集合运算而言，它是由Union在与交集相关的变量之间获得的复合语句。

例子

• $(A \地B)\ lor(A \地C)\ lor(B \地C \地D)$

• $ {P \ cap Q)\ cup(Q \ cap R)$