是否可以从一个顶点到另一个顶点遍历图取决于图的连接方式。连接性是图论中的一个基本概念。连接性定义图形是已连接还是已断开。它具有基于边缘和顶点的子主题，称为边缘连接性和顶点连接性。让我们详细讨论它们。

连接性

如果每对顶点之间都有一条路径，则称该图是连通的。从每个顶点到任何其他顶点，都应该有一些遍历的路径。这称为图的连通性。具有多个断开的顶点和边的图形被称为断开的。

例子1

在下图中，可以从一个顶点移动到任何其他顶点。例如，可以使用路径“ abe”从顶点“ a”遍历到顶点“ e”。

例子2

在以下示例中，无法从顶点“ a”遍历到顶点“ f”，因为它们之间没有直接或间接的路径。因此，它是一个断开的图。

切顶点

令“ G”为连通图。如果“ GV”(从“ G”中删除“ V”)导致图形断开，则顶点V∈G称为“ G”的割顶点。从图形中删除切割的顶点会将其分成两个或多个图形。

注意-移除切出的顶点可能会使图形断开连接。

连通图“ G”最多可以具有(n–2)个切割顶点。

例

在下图中，顶点“ e”和“ c”是剪切顶点。

通过删除“ e”或“ c”，该图将变为断开连接的图。

如果没有’g’，则顶点’c’和顶点’h’以及其他许多顶点之间就没有路径。因此，这是一个断开的图，其顶点为“ e”。同样，“ c”也是上图的割点。

切边(桥)

令“ G”为连通图。如果’Ge’导致图形断开，则边缘’e’∈G称为切边。

如果删除图形中的一条边导致生成两个或更多图形，则该边称为“剪切边”。

例

在下图中，切割边为[(c，e)]。

通过从图形中删除边缘(c，e)，它变为断开连接的图形。

在上面的图形中，删除边(c，e)会将图形分为两部分，这只是断开的图形。因此，边缘(c，e)是图形的切割边缘。

注意-假设’G’是具有’n’个顶点的连通图，则

• 当且仅当边缘’e’不属于G中任何循环的一部分时，才确定切割边缘e∈G。

• 可能的最大切边数量为“ n-1”。

• 每当存在切边时，也存在切点，因为切边的至少一个顶点是切点。

• 如果存在切割顶点，则切割边缘可能存在或可能不存在。

图的割集

令’G’=(V，E)为连通图。如果从G中删除E’的所有边缘使G断开连接，则E的子集E’称为G的割集。

如果从图形中删除一定数量的边使其断开连接，则这些删除的边称为图形的割集。

例

看下图。其切割集为E1 = {e1，e3，e5，e8}。

从图形中删除切割集E1后，它将显示如下-

同样，还有其他割集可以断开图形连接-

• E3 = {e9} –图形的最小割集。

• E4 = {e3，e4，e5}

边缘连接

令“ G”为连通图。移除导致“ G”断开连接的最小边缘数称为G的边缘连通性。

符号-λ(G)

换句话说， G的最小切割集中的边数称为G的边连通性。

如果“ G”具有切边，则λ(G)为1。(G的边连接)。

例

看下图。通过删除两个最小边，连接的图将断开连接。因此，其边缘连通性(λ(G))为2。

这是通过删除两条边来断开图形的四种方法-

顶点连通性

令“ G”为连通图。删除使“ G”断开连接或将“ G”缩小为平凡图形的最小顶点数称为其顶点连通性。

表示法-K(G)

例

在上图中，删除顶点“ e”和“ i”会使该图断开连接。

如果G具有割点，则K(G)= 1。

表示法-对于任何连接的图G，

K(G)≤λ(G)≤δ(G)

顶点连通性(K(G))，边缘连通性(λ(G))，G(δ(G))的最小度数。

例

为下图计算λ(G)和K(G)-

解

从图中

δ(G)= 3

K(G)≤λ(G)≤δ(G)= 3(1)

K(G)≥2(2)

删除边{d，e}和{b，h}，我们可以断开G的连接。

因此，

λ(G)= 2

2≤λ(G)≤δ(G)= 2(3)

从(2)和(3)，顶点连通性K(G)= 2