高斯和高斯-乔丹消除

解决线性方程组的方法有两种：

• 高斯消除
• 高斯-乔丹淘汰赛

它们都基于这样的观察：如果方程组具有相同的解集，并且对矩阵的行执行简单的运算(即基本行运算或(EROs)) ，则它们是等效的。

有3个ERO：

• 缩放：将行乘以标量(即，将行中的每个元素乘以相同的标量)。此被写入SR_我⟶rI，其指示行i是由一个标量s乘以修改。
• 互换：互换两行的位置。这被写为R _I⟵⟶rj，它表示行i和j互相交换。
• 替换：将一行中的所有元素替换为该行的正负乘以标量乘以另一行。这被写为R _{I±SRĴ⟶r我}。

例

互换行的一个例子是，R _1⟵⟶r3。

现在，从这个矩阵，缩放的例子是：2R _2⟶r2，它描述了在第2行所有的项目都乘以2。

现在，从该矩阵中，替换的例子是：因为r ₃ -2r _2⟶r3 .Element逐元素，行3中，通过在元件中第3行减去2 *代替行2中的相应项这些结果：

Gauss和Gauss-Jordan方法都从方程组的矩阵形式Ax = b开始，然后用列向量b扩充系数矩阵A。

高斯消除

高斯消除法是一种针对x求解矩阵方程Ax = b的方法。

该过程是：

• 首先用列向量b扩充矩阵A。
• 它执行ERO来将该扩展矩阵转换为上三角形式。
• 它使用反替换来解决x中的未知数。

例

使用2 x 2系统，增强矩阵将为：

然后，使用ERO将扩充后的矩阵转换为上三角形式：

因此，只需将_{0替换为21。}在这里，质数表示值已更改。

将其放回方程式yield中

对每一行执行此矩阵乘法会导致：

因此，解决方案是：

类似地，对于3×3系统，扩充后的矩阵被简化为上三角形式：

这将通过在一个₂₁位的第一得到一个_0，则一个_31，最后一个₃₂来完成有序。

然后，解决方案将是：

考虑以下2×2方程组：

x ₁ + 2x ₂ = 2
2x ₁ + 2x ₂ = 6

由于矩阵方程Ax = b，因此：

第一个过程是用b扩充系数矩阵A，以获得扩充矩阵[A | b]：

对于正向淘汰，我们需要在a ₂₁位置_获得0。为此，我们可以通过减去2 *第一行来更改矩阵中的第二行。

我们编写此ERO的方式是：

现在，将其放回矩阵方程式中：

说第二个方程现在是-2x ₂ = 2所以x ₂ = -1插入第一个方程式：

x ₁ +2(-1)= 2
x ₁ = 4。

这称为后代。

高斯-乔丹淘汰赛

高斯-乔丹消除法开始了与高斯消除法相似的技术，但是消除代替了替代，继续进行消除。

高斯-乔丹方法包括：

• 创建增强矩阵[A b]
• 通过实施ERO获得上三角形式的正向消除
• 返回去除到对角线的过程，产生解决方案

例

使用2x 2系统，增强矩阵将为：

使用3x 3系统，增强矩阵将为：

注意：结果对角线形式不包括最右边的列。

例如，对于2×2系统，正向消除产生矩阵：

现在，要继续进行反向淘汰，我们希望₀处于₁₂位置。

因此，解决方案是

这是3×3系统的示例：

矩阵形式的扩充矩阵[A | b]为

正向替换(首先在a _{21位置得到0} ，然后在_31处得到，最后是₃₂来有序地完成)：

对于高斯技术，这是后面的替换：

对于Gauss-Jordan技术，此方法后面是反向消除：

这是一个使用MATLAB操作这些替换的示例：

>> a = [1 3 0; 2 1 3; 4 2 3]
a =
       1     3     0
       2     1     3
       4     2     3 >> b = [1 6 3]'
b=
       1
       6
       3
>> ab = [a b]
ab = 
          1    3    0   1 
          2    1    3   6
          4    2    3   3
>> ab(2, :) = ab(2,:) ? 2*ab(1,:)
ab=
         1    3    0    1
         0    -5   3    4
        4     2    3    3
>> ab(3,:) = ab(3,:) ? 4 * ab(1,:)
ab =

           1  3   0   1 
          0 ?5   3   4 
          0 ?10   3 ?1
>> ab(3,:) = ab(3,:) ? 2 * ab(2,:)
ab=
    1    3    0   1
            0    -5   3    4
    0    0    -3  -9
>> ab(2,:) = ab(2,:) + ab(3,:)
ab=
    1   3   0   1 
            0 ?5   0 ?5 
            0   0  ?3 ?9
>> ab(1,:) = ab(1,:) + 3/5*ab(2,:) ab=
    1   0   0  ?2 
            0 ?5   0  ?5 
            0   0  ?3 ?9