Math 函数

在Math 中，函数是每个输入都有特定输出的关系。函数广泛用于科学和Math 领域。在本节中，我们将学习函数定义的概念，函数类型，属性以及示例，以更好地理解。

函数表示两个不同集合之间的关系。第一组的每个元素必须与第二组的一个元素相关联。

考虑下图，每个输入元素都与一个输出元素相关联。因此，该关系表示一个函数。

让我们再举一个例子。下图未表示函数，因为输入元素q与输出的两个不同元素相关联。

功能定义

函数是一种Math 过程，将一个变量的值与一个(或多个)其他变量的值唯一相关。

功能相关术语

• 域：在一个函数，它是所有可能输入的集合。换句话说，它是一组可能的输入变量。
• 共域：函数的可能输出称为共域。换句话说，它是函数的图像。
• 范围：函数的实际输出称为范围。

假设有两个名为X和Y的集合，分别具有元素{a，b，c，d}和{w，x，y，z} 。集X的每个元素都与集Y的元素相关联。集合X称为函数的域，集合Y称为函数的共域。范围是函数f的实际输出，即{v，w，z} 。

功能符号

功能符号是表示函数或定义函数的一种方式。它用方程式定义函数的名称。有以下四种方法来表示函数。

• 功能符号
• 箭头符号
• 索引符号
• 点表示法

功能符号

函数符号是Math 家Leonhard Euler最初使用的。最常用的字母是f ， g和h 。该字母必须为斜体且小写。这是最常用的表示法。

通常，我们用字母f表示一个函数，称为函数名。该关系由y = f(x) (表示为x的f )表示。元素x被称为函数的输入或自变量，元素y被称为输出(函数的值)或x乘以y的图像。

这意味着对(x，y)属于定义函数f的对的集合。如果X是f的域，则使用set-builder表示法定义函数的对对的集合为：

例如，可以通过以下公式定义函数f：

箭头符号

当我们要显式表示域时，将使用箭头符号。假设X是函数f的域，而Y是函数f的共域，则该函数的符号为：

读取为：函数f从X到Y。

上面的函数也可以写成：

读取为：函数f将X的元素映射到Y的元素。

例如，如果在集合X上定义了乘法，则X上的平方函数sqr定义为：

从X到X映射为x到xx的函数sqr读取。

索引符号

使用索引符号代替功能符号。这意味着用f _x代替f(x) 。它是用于其域包含了一组自然数的函数。它包含了一组自然数的函数被调用的顺序。

例如，以索引符号x→f(x，t)可以表示为f _t 。如果我们通过以下公式定义地图集合f _t：

点表示法

用功能表示法，符号x不代表任何值。它只是一个占位符。如果将x替换为箭头左侧的任何值，则必须将其替换为箭头右侧的相同值。要更改值，我们使用点间(·)将函数f(·)与函数f(x)在x处的值区分开。

例如，我们可以将a(·) ₂点表示为x→ax ₂ 。

功能类型

可以根据所使用的变量对功能进行分类。有以下几种功能：

• 一一功能(内射功能)
• 多功能
• 附加功能(形容词功能)
• 进入功能
• 代数函数
• 指数函数
• 对数函数
• 分析功能
• 函数逆
• 单调函数
• 多项式函数
• 线性函数
• 二次函数
• 关系函数
• 三次函数
• 模函数
• 常数函数
• 复合功能
• 周期性功能

在本节中，我们将仅讨论一些常用函数。

一一功能

在一对一函数，域的每个元素在共域中都有不同的图像。它也称为内射函数。如果x ₁和x ₂是函数f的两个不同输入，则如果f(x ₁ )≠f(x ₂ ) ，则f是一一函数。

在下面的图像中，集合X的每个元素在共域Y中具有不同的图像，并且没有两个元素具有相同的图像。

多功能

在函数，域中的两个或多个元素在共域中具有相同的图像。

在下图中，集合X具有元素{1、2、3、4}，集合Y具有元素{a，b，c，d，e，f}。元素1和2在集合Y中具有相同的图像，即b。

功能介绍

函数f被称为到函数或函数射如果集合Y中的每个元素在结构域具有至少一个前图像。

在下面的图像中，我们可以看到，集合Y中的每个元件具有在该组X中的前图像或匹配元件。

进入功能

如果在共域中存在至少一个元素而不是域中任何元素的图像，则函数f被认为是函数。

在下图中，共域中有一个元素(4)，域中没有任何元素的图像。

相同功能

相同函数也称为相等函数。当且仅当两个函数f(x)和g(x)满足以下两个条件时，才说它们是相同的：

• f(x)的域= g(x)= x的域
• f(x)的范围= g(x)的范围或f(x)= g(x)∀x ϵ X

相同函数的图形始终通过原点。下图表示f(x)= x的相同函数图。

反函数

当该域的所有元素都成为范围时，反之亦称为逆函数。用f ^-1表示(读取f逆)。考虑下面的函数f和一组有序对，其中x是域，y是范围。

f(x)= {(x，y):( 3,6)，(1,12)，(7,2)，(9,4)}

函数的反函数为：

f ^-1 (x)= {(x，y):( 6,3)，(12,1)，(2,7)，(4,9)}

找到一个函数的逆向有四个步骤：

• 将函数f(x)替换为y
• 交换x和y变量
• 解决y
• 将y替换为f ^-1 (x)

示例：查找函数f(x)= x-4的逆函数。

解：

步骤1： y = x-4

步骤2： x = y-4

步骤3： y = x + 4

步骤4：f ^-1 (x)= x + 4

让我们为函数f(x)= 2 ^x及其反函数f ^-1 (x)= y绘制一个图。对于函数，我们采用x的不同值，分别为0、2、4。

三次函数

具有三个次多项式函数被调用三次函数。例如， f(x)= ax ³ + bx ² + cx + d ，其中a，b，c，d R和a≠0 。

让我们为函数f(x)= ax ³绘制一个图，其中a是常数。我们取a的值为1， x的值为-2，-1，0，1，2 。将这些值分别放入函数，我们得到了点，然后绘制了图形。

二次函数

二次函数的一般形式是f(x)= ax ² + bx + c ，其中a，b，c是实数，而a≠0 。二次函数的图始终为U形。

让我们为函数f(x)= ax ²绘制一个图，其中a是常数。我们取a的值为1， x的值为-2，-1，0，1，2 。将这些值分别放在函数之后，我们得到点，然后绘制图形。

常数函数

在常量函数，每个输入的输出值都相同。常数函数的一般形式是f(x)= c或f = c 。当我们绘制常数函数的图时，我们在穿过点(0，c)的平面上得到一条水平线。

让我们绘制函数f(x)= c的图。在下图中，我们可以看到，对于x的不同值，我们得到相同的输出。

模函数

它是提供变量绝对值的函数。模函数是其结果始终为正。输入给函数什么都没有关系。 x的模函数f(x)可以定义为：

考虑以上几点：

• 如果x为正数，则函数f(x)的输出将为x 。
• 该函数f(x)的输出将是x的绝对值，如果x是负的。

简而言之，以上两点可以写成：

模函数的图形类似于V形。让我们绘制函数f(x)= | x |的图形。 。对于函数，我们采用了表中给出的x的不同值。

例：

对于x = -9 ，y的值将是： y = f(x)=-(-9)= 9
对于x = 2 ，y的值为： y = f(x)= 2
对于x = 0 ，y的值将为： y = f(x)= 0

功能属性

• f(x)= x是恒等函数。
• f ^-1 (f(x))= f(f ^-1 (x))= x
• 通常，f(g(x))≠g(f(x))的组成顺序很重要。