求偶指数二项式系数之和

求偶指数二项式系数之和是一道经典的组合数学问题，它可以用于计算多项式的系数，也是求解某些排列组合问题的重要工具。

问题描述

给定非负整数 $n$，求所有偶数下标的二项式系数之和，即

$$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}$$

解法思路

根据二项式定理，有

$$(1+x)^n=\binom{n}{0}x^0+\binom{n}{1}x^1+\cdots+\binom{n}{n-1}x^{n-1}+\binom{n}{n}x^n$$

将 $x$ 替换为 $-1$，则有

$$0=(1-1)^n=\binom{n}{0}(-1)^0+\binom{n}{1}(-1)^1+\cdots+\binom{n}{n-1}(-1)^{n-1}+\binom{n}{n}(-1)^n$$

将等式两侧分别乘以 $-1$，然后将下标 $k$ 替换为 $n-k$，有

$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0$$

将上式中 $k$ 替换为 $2k$，则有

$$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^{2k}\binom{n}{2k}=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}-\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k+1}$$

根据二项式定理，有

$$(1+x)^n+(1-x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(x^k+(-x)^k)$$

将 $x$ 替换为 $1$ 和 $-1$，则有

$$(1+1)^n+(1-1)^n=2\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}$$

$$(1+(-1))^n+(1-(-1))^n=2\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k+1}$$

将上述两式相加，有

$$2^n=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}+\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k+1}$$

因此，偶数下标的二项式系数之和为

$$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}=\frac{2^{n-1}+2^{-1}{{n}\choose{n/2}}}{2}$$

代码实现

def even_binomial_coefficients(n):
    """
    计算偶数下标的二项式系数之和
    
    Args:
        n: 非负整数
    
    Returns：
        偶数下标的二项式系数之和
    """
    if n % 2 == 0:
        return 2 ** (n - 1)
    else:
        return (2 ** (n - 1) + binomial_coefficient(n, n // 2)) // 2

def binomial_coefficient(n, k):
    """
    计算二项式系数 C(n, k)
    
    Args:
        n: 非负整数
        k: 非负整数
    
    Returns：
        二项式系数 C(n, k)
    """
    if k == 0:
        return 1
    elif k > n - k:
        return binomial_coefficient(n, n - k)
    else:
        return binomial_coefficient(n - 1, k - 1) * n // k

总结

本文介绍了如何计算偶数下标的二项式系数之和，给出了一种优雅的解法思路，并给出了相应的代码实现。