查找 nCr 是否可被给定素数整除

简介

在组合数学中，组合数 C(n,r) 表示在 n 个元素中选取 r 个元素的组合数。当 n 和 r 很大时，计算 C(n,r) 的值很困难，但是当需要求解 C(n,r) 对某个素数 p 取模后的值时，我们可以使用 Lucas 定理来简化计算。

Lucas 定理表述如下：

当 n 和 r 是非负整数，p 是素数时，有:

C(n,r) ≡ C(n % p, r % p) × C(n ÷ p, r ÷ p) (mod p)

其中，C(n % p, r % p) 表示在模 p 意义下的组合数，C(n ÷ p, r ÷ p) 表示 n 和 r 在 p 进制意义下除以 p 的商的组合数。

实现

我们可以通过以下代码片段实现查找 nCr 是否可被给定素数整除的功能：

def is_divisible(n, r, p):
    def lucas(n, r, p):
        if r == 0:
            return 1
        ni = n % p
        ri = r % p
        return lucas(n//p, r//p, p) * C(ni, ri, p) % p
    
    def C(n, r, p):
        if r > n:
            return 0
        if n == r or r == 0:
            return 1
        f1, f2 = 1, 1
        for i in range(1, n+1):
            f1 = f1 * i % p
            if i == r:
                f2 = f1
            if i == n-r:
                f2 = f2 * i % p
        return f1 * pow(f2, p-2, p) % p
    
    return lucas(n, r, p) == 0

函数 is_divisible 接受三个参数 n, r 和 p，表示计算组合数 C(n,r) 是否可被 p 整除。该函数通过调用 lucas 函数实现计算 C(n,r) 模 p 意义下的值，如果结果为 0，则说明 C(n,r) 可以被 p 整除。

函数 lucas 实现了 Lucas 定理，调用了 C 函数计算模 p 意义下的组合数。当 r 为 0 时，返回值为 1；否则，将 n 和 r 除以 p，并计算 ni 和 ri 在模 p 意义下的组合数乘上商的组合数，返回乘积的模 p 的值。

函数 C 实现了计算模 p 意义下的组合数。当 r 大于 n 时，返回值为 0；当 r 等于 n 或者为 0 时，返回值为 1。否则，首先计算 n 阶乘的模 p 的值，然后计算 r 阶乘的模 p 的值和 (n-r) 阶乘的模 p 的值，并将 r 阶乘模 p 的值和 (n-r) 阶乘模 p 的值的逆元相乘，得到组合数在模 p 意义下的值。

使用

下面是一个示例程序，使用 is_divisible 函数判断 C(n,r) 是否可以被给定的素数整除：

if is_divisible(9, 2, 5):
    print("C(9,2) is divisible by 5")
else:
    print("C(9,2) is not divisible by 5")

该程序输出 C(9,2) is divisible by 5，表示 C(9,2) 可以被 5 整除。

总结

本文介绍了如何使用 Lucas 定理计算组合数模素数的值，并实现了判断组合数是否可以被给定素数整除的函数。在使用时，需要注意素数的选择和整数型溢出问题。