在素数螺旋中查找素数的坐标

简介

素数螺旋是一个基于素数分布特点的图形。从一个小于 $1$ 的数开始，按照顺时针方向，从小到大依次填充正方形的格子，得到一个不断扩大的图形。 当填充的数字是素数时，会呈现出“螺旋”的特点。本文将介绍如何在这个螺旋中查找素数的坐标。

程序实现

假设要查找 $n$ 以内的素数，首先需要计算出对应的素数螺旋的大小，即 $n$ 所在的圈数。圈数的计算公式为：

$$k = \lceil \sqrt{n} \rceil$$

$k$ 即为所在圈数。

接着，我们可以通过遍历素数螺旋中的数字来查找素数的坐标。遍历时，我们可以按照如下步骤进行：

1. 先遍历圆心，即 (0, 0) 这个点
2. 从圆心开始，按照右、上、左、下的顺序遍历每个圈上的数字。例如在第 $i$ 圈，从 $(i, -i)$ 开始，依次遍历右、上、左、下四个方向的数字，直到回到 $(i, -i)$。
3. 每次遍历到一个数字时，检查其是否为素数，若是，则记录坐标。

具体实现时，可以先定义一个函数来判断一个数是否为素数：

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

然后，按照上述步骤进行遍历。示例代码如下：

def get_coordinates(n):
    k = int(n**0.5) + 1
    x, y = 0, 0
    res = []
    
    if is_prime(2):
        res.append((x, y))
    
    for i in range(1, k):
        x, y = i, -i
        if is_prime(4*i*i - 2*i + 1):
            res.append((x, y))
        
        for j in range(4):
            for l in range(2*i):
                if j == 0:
                    x += 1
                elif j == 1:
                    y += 1
                elif j == 2:
                    x -= 1
                else:
                    y -= 1
                if is_prime(4*i*i + j*(2*i-1) + l + 1):
                    res.append((x, y))
    
    return res

以上代码中，$k$ 是素数螺旋的半径，$x$ 和 $y$ 则表示待遍历的数字的坐标。res 列表用于记录所有素数的坐标。遍历过程中，先单独判断数字 $2$ 是否为素数，并将其坐标加入 res 中。

接着，从半径为 $1$ 的圆开始遍历。我们可以发现，从圆心出发，向右遍历 $1$ 步，就会到达半径为 $1$ 的圆上的第一个数字，这个数字的坐标为 $(1, -1)$，是上文中提到的 $(i, -i)$。因此，我们可以先将 $x$ 和 $y$ 的初值设为 $1$ 和 $-1$。然后，先判断圆上的第一个数字是否为素数，若是，则将其坐标加入 res 中。接着，按照右、上、左、下的顺序，依次遍历整个圆的数字。在每个数字处，都进行一次素数判断，若是则将其坐标加入 res 中。

遍历完圆上的数字之后，我们需要进入下一个圆。下一个圆的半径即为 $2$。我们可以发现，下一个圆上的第一个数字，就是当前圆上的最右边的数字向右移动一步后得到的。因此，我们可以将 $x$ 的初值设为 $i+1$，$y$ 的初值设为 $-i$，然后依次遍历右、上、左、下四个方向的数字。每个方向上的数字个数都是 $2i$，因此，在循环中可以分别判断各个数字是否为素数。最后得到的 res 即为所有素数的坐标。

结论

通过以上方法，我们可以在素数螺旋中查找任意一定范围内的素数，并得到其坐标。由于素数螺旋的形状与素数分布有关，因此该方法在一定程度上可以反映出素数的分布规律。