检查是否存在正好有N个因子和K个素因子的数

本题要求编写一个函数，用于检查是否存在正好有N个因子且K个是素因子的数。

思路

要判断一个数是否恰好有N个因子，需要知道该数的因子个数。一个数的因子可以分成两部分，分别是其小于等于它一半的因子和大于它一半的因子。因为从大于它一半的因子可以通过相应的小于它一半的因子求得，所以只需要计算小于等于它一半的因子个数，再加1，就可以得到总的因子个数（加1是因为1 也是它的因子）。因为N个因子中必然包括1和其本身，所以需要先判断N是否大于2，如果不是，则无解；否则从2到N/2枚举每个候选数字，计算其因子个数，找到符合条件的数字。

要判断一个数是否恰好有K个素因子，需要知道该数的素因子个数。可以使用筛选法求出小于等于该数的所有素数，然后依次尝试这些素数是否是该数的因子，并计数。当素因子个数达到K时停止判断，如果总因子个数等于N，则该数满足要求；否则，继续尝试下一个数字。

代码实现

def factor_count(n):
    count = 0
    for i in range(1, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            count += 2
    if int(n**0.5)**2 == n:
        count -= 1
    return count

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def count_prime_factors(n, primes):
    count = 0
    for p in primes:
        if n % p == 0:
            count += 1
        if count == k:
            break
    return count

def has_n_factors_and_k_primes(n, k):
    if n <= 2 or k > n:
        return False

    primes = [p for p in range(2, n+1) if is_prime(p)]
    for i in range(2, n+1):
        factors = factor_count(i)
        prime_factors = count_prime_factors(i, primes)
        if factors == n and prime_factors == k:
            return True

    return False

示例

has_n_factors_and_k_primes(10, 2)
# False

has_n_factors_and_k_primes(12, 2)
# True

has_n_factors_and_k_primes(16, 3)
# True

时间复杂度

计算N个数的因子个数需要遍历小于等于该数一半的数，因此时间复杂度为O(N^2)，计算小于等于N的所有素数的时间复杂度为O(Nlog(log(N)))，因此总时间复杂度为O(N^2log(log(N)))。如果使用线性筛选法求出小于等于N的所有素数，则总时间复杂度可优化为O(N*log(log(N)))。