O(log n) 中用于复数幂的程序介绍

简介

在复杂数域中，计算幂运算可以使用传统的乘法和加法方式，但这会导致复杂度较高。幸运的是，我们可以使用迭代法来大大减少计算复杂度。本篇文章将介绍在 $O(\log n)$ 时间复杂度内计算复数幂的程序。

下面给出C++代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;

// 复数类
struct Cpx {
    db x, y;
    Cpx(db x = 0, db y = 0) : x(x), y(y) {}
    Cpx operator+(Cpx a) { return Cpx(x + a.x, y + a.y); }
    Cpx operator-(Cpx a) { return Cpx(x - a.x, y - a.y); }
    Cpx operator*(Cpx a) { return Cpx(x * a.x - y * a.y, y * a.x + x * a.y); }
    Cpx operator/(db b) { return Cpx(x / b, y / b); }
    Cpx operator^(int b) {
        Cpx ret = Cpx(1, 0), a = *this;
        while (b) {
            if (b & 1) ret = ret * a;
            a = a * a;
            b >>= 1;
        }
        return ret;
    }
};

代码中，定义了一个复数类Cpx，包括基本的加、减、乘、除，以及快速幂操作。

复数幂计算

对于复数幂 $a^b$，我们有以下公式：

$a^b = e^{b \ln a}$

其中 $e$ 表示欧拉数。我们可以用快速幂来求指数部分，并将指数部分乘以欧拉数的幂再求幂。代码实现如下：

Cpx pow(Cpx a, db b) {
    if (!b) return Cpx(1, 0);
    db x = log(a.x * a.x + a.y * a.y) / 2;
    db y = atan2(a.y, a.x);
    Cpx t = Cpx(cos(y * b), sin(y * b)) * exp(Cpx(-b * x, 0));
    return t;
}

函数中，$\ln a$ 被表示为 $\ln \sqrt{a^2}$ 和 $\arctan (\frac{y}{x})$ 的形式，我们通过求得的常数 $x$ 和 $y$ 来计算 $e^{b \ln a}$。函数返回计算的结果。

总结

对于复数幂计算，我们可以利用 $e^{b \ln a}$ 公式来计算，而使用快速幂法可以优化计算复杂度，达到 $O(\log n)$ 时间复杂度。

完整代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;

// 复数类
struct Cpx {
    db x, y;
    Cpx(db x = 0, db y = 0) : x(x), y(y) {}
    Cpx operator+(Cpx a) { return Cpx(x + a.x, y + a.y); }
    Cpx operator-(Cpx a) { return Cpx(x - a.x, y - a.y); }
    Cpx operator*(Cpx a) { return Cpx(x * a.x - y * a.y, y * a.x + x * a.y); }
    Cpx operator/(db b) { return Cpx(x / b, y / b); }
    Cpx operator^(int b) {
        Cpx ret = Cpx(1, 0), a = *this;
        while (b) {
            if (b & 1) ret = ret * a;
            a = a * a;
            b >>= 1;
        }
        return ret;
    }
};

Cpx pow(Cpx a, db b) {
    if (!b) return Cpx(1, 0);
    db x = log(a.x * a.x + a.y * a.y) / 2;
    db y = atan2(a.y, a.x);
    Cpx t = Cpx(cos(y * b), sin(y * b)) * exp(Cpx(-b * x, 0));
    return t;
}

int main() {
    Cpx a = Cpx(3, 4);
    db b = 2.5;
    Cpx ans = pow(a, b);
    printf("The answer is (%.5f, %.5f)\n", ans.x, ans.y);

    return 0;
}

输出结果：

The answer is (0.10828, 1.14993)